分式的四則運(yùn)算精講精練(含答案)
分式的四則運(yùn)算
知識(shí)總結(jié)歸納：
1. 分式的乘除法法則
ab?cd?acbd
；
ab
?
cd
?
ab
?
dc
?
adbc
當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，先進(jìn)行因式分解再約分。
2. 分式的加減法
（1）通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，且取各分式分母的最簡(jiǎn)公分母。 求最簡(jiǎn)公分母是通分的關(guān)鍵，它的法則是：
①取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；
②凡出現(xiàn)的字母（或含有字母的.式子）為底的冪的因式都要��； ③相同字母（或含有字母的式子）的冪的因式取指數(shù)最高的。 （2）同分母的分式加減法法則：
ac?bc?a?bc
。
（3）異分母的分式加減法法則是先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p。 3. 分式乘方的法則：()?n（n為正整數(shù)）
bb
4. 分式的運(yùn)算是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在分式方程，求代數(shù)式的值，函數(shù)等方面有重要應(yīng)用。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：
（1）注意運(yùn)算順序及解題步驟，把好符號(hào)關(guān)；
（2）整式與分式的運(yùn)算，根據(jù)題目特點(diǎn)，可將整式化為分母為“1”的分式； （3）運(yùn)算中及時(shí)約分、化簡(jiǎn)； （4）注意運(yùn)算律的正確使用； （5）結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)分式或整式。 下面我們一起來(lái)學(xué)習(xí)分式的四則運(yùn)算 例1：計(jì)算
x?x?2x?x?6
22
a
n
a
n
?
x?x?6x?x?2
2
2
的結(jié)果是（ ）
A.
x?1x?3
B.
x?1x?9
C.
x?1x?9
2
2
D.
x?1x?3
2
2
分析：
(x?2)x(?1)x(?
?(x?3)x(?2)x(?
2x)?(3x)?(
1)x?(2)x?(x1?)(
x3?)(
22
x1)?
x3)?
19
故選C 說(shuō)明：先將分子、分母分解因式，再約分。
*例2：已知abc?1，求
aab?a?1
?
bbc?b?1
?
cac?c?1
的值。
分析：若先通分，計(jì)算就復(fù)雜了，我們可以用abc替換待求式中的“1”，將三個(gè)分式化成同分母，運(yùn)算就簡(jiǎn)單了。 解：原式? ?
aab?a?1
aab?a?1
??
ababc?ab?a
ab1?ab?a
nm???
abcabc?abc?ababca?1?abmm?n
?
?1 )的值。
a?ab?1ab?a?1nm?
m
例3：已知：2m?5n?0，求(1?)?(1?
m?n
分析：本題先化簡(jiǎn)，然后代入求值�；�(jiǎn)時(shí)在每個(gè)括號(hào)內(nèi)通分，除號(hào)改乘號(hào)，除式的分子、分母顛倒過(guò)來(lái)，再約分、整理。最后將條件等式變形，用一個(gè)字母的代數(shù)式來(lái)表示另一個(gè)字母，帶入化簡(jiǎn)后的式子求值。這是解決條件求值問(wèn)題的一般方法。 解：(1?
?
nm?
mm?n
)?(1?
nm?
mm?n
)
m(m?n)?n(m?n)?m
m(m?n)?nm(m?n)
?
m(m?n)?n
?
?
m(m?n)?n(m?n)?m
m(m?n)
?
m?nm?n
5
故原式?2
5
aba?b
13
bcb?c
n?n
?
72
n?
32
n?
73
* 例4：已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且
的值是多少？
?，?
2
1
4
n?n
，
cac?a
?
15
，那么
abcab?bc?ca
分析：已知條件是一個(gè)復(fù)雜的三元二次方程組，不容易求解，可取倒數(shù)，進(jìn)行簡(jiǎn)化。 解：由已知條件得： 所以2( 又因?yàn)?/p>
1a?1b?1c
1a?1b?3，
1b?1a1c??4，1b?1c1c?1a?5
)?12 即
?1c?1b?1a
?6
abcab?bc?ca
?16
ab?bc?ca
abc
?6 所以
例5：化簡(jiǎn)：(
x?1x?2
3
3
?
x?1x?2
2
)?
x?4x?1
2
2
(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)(x?2)(x?2)
解一：原式? ?
(x?2)(x?2)x?1
???
x?3x?2x?4
x?1
24
3
2
?
(x?x)?3(x?1)?(x?1)
x?1
2
4232
x(x?1)(x?1)?3(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)
x?1
(x?1)(x?x?3x?3x?3?x?1)
x?1
3
23
2
2
?x?2x?4x?4
(x?1)(x?x?1)(x?2)(x?2)(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)
解二：原式? ???
x?2x?1x?2x?1
?(x?x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)
2
2
?x?x?x?2x?2x?2?x?3x?2
?x?2x?4x?4
3
2
3222
說(shuō)明：解法一是一般方法，但遇到的問(wèn)題是通分后分式加法的結(jié)果中分子是一個(gè)四次
多項(xiàng)式，而它的分解需要拆、添項(xiàng)，比較麻煩；解法二則運(yùn)用了乘法分配律，避免了上述問(wèn)題。因此，解題時(shí)注意審題，仔細(xì)觀察善于抓住題目的特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?例1（2000·北京朝陽(yáng)）計(jì)算：1?
n?mm?2n
?
m?n
2
2
2
2
m?4mn?4n
解：
m?2nm?n
m?n?m?2n
m?n
3nm?n
?1???
說(shuō)明：分式運(yùn)算時(shí)，若分子或分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先因式分解。 例2（2001·內(nèi)蒙呼和浩特） 已知：
Mx?y
2
2
?
2xy?yx?y
2
2
2
?
x?yx?y
，則M?_________。
?
2xy?y?x?2xy?y
x?y
2
2
222
?
x
2
2
2
x?y
?
Mx?y
2
2
?M?x2
說(shuō)明：分式加減運(yùn)算后，等式左右兩邊的分母相同，則其分子也必然相同，即可求出M。 例1：計(jì)算：[
1(a?b)
2
?
1(a?b)
2
]?(
1a?b
?
1a?b
)
解一：原式?
(a?b)?(a?b)(a?b)(a?b)
?4ab(a?b)(a?b)1a?b
?
1a?b
2
2
22
22
?
a?b?a?b(a?b)(a?b)
?
??
(a?b)(a?b)
?2b1
?
1a?b
2a(a?b)(a?b)1a?b
?
1a?b
)
?
2aa?b
2
2
解二：原式?( ?
)(
a?b
)?(
1a?b
?
1a?b
?
a?b?a?b(a?b)(a?b)
?
2aa?b
2
2
說(shuō)明：在分式的運(yùn)算過(guò)程中，乘法公式和因式分解的使用會(huì)簡(jiǎn)化解題過(guò)程。此題兩種方法的繁簡(jiǎn)程度一目了然。 例2：若a?b?3ab，則(1?
12
2
2
2b
3
3
a?b
)?(1?3
2ba?b
)的值等于（ ）
A. B. 0
3
3
C. 1
3
D.
23
解：原式?
a?b?2ba?b
a?b
23
3
33
?
ahttp://http://www.stanzs.com/news/55BB64658DC3371E.html?b?2ba?b
2
2
(a?b)(a?ab?b)a?b
?3???322
a?ba?b(a?b)(a?ab?b)a?b?
a?ab?ba?ab?b
2
22
a?b
故選A
?
3ab?ab3ab?ab
?
2ab4ab
?
12
[基本練習(xí)]
1. 已知：a?b?2，ab??5，則 A. ?
25
ab1951
?
ba
的值等于（ ） D. ?
245
B. ?
145
C. ?
2. 已知x2?16x?1?0，求x3? 3. 計(jì)算：
1x
2
x
3
的值。
?
1x
2
?3x?2
11112222
?
1x?5x?6
2
?7x?12
?
1x
2
?9x?20
* 4. 若A?
99999999
?1?1
，B?
99999999
22223333
?1?1
，試比較A與B的大小。
1a
1b
1c
*5. 已知：a?b?c?0，abc?8，求證：
???0。
【答案】
1.
?a?b?2，ab??5?
?a?b
22
?(a?b)?2ab?14?
2
ab
?
ba
?
14?5
??
14 故選B 5
2.
1x
3
x?1x
36
1?x?
3
??
(x?1)(x?x?1)
x
3
242
?
16x(x?x?x?16x)
x
3
422
?16[3?
16(x?1)
x
2
]?16[3?
16?16x
x
]?16?259?4144
說(shuō)明：此題反復(fù)運(yùn)用了已知條件的變形，最終達(dá)到化簡(jiǎn)求值的目的。 3. 解：原式?
1(x?1)(x?2)
1x?11x?1
1x?21x?5
?
1(x?2)(x?3)
1x?2
2
?
1(x?3)(x?4)
1
1x?4
?
1(x?4)(x?5)
1
1x?5
???
??
?4
1x?3
?
?
x?3
??
x?4
?
x?6x?5
說(shuō)明：本題逆用了分式加減法則對(duì)分式進(jìn)行拆分，簡(jiǎn)化計(jì)算。 4. 解：設(shè)a?9999
1111
，則A?
2
a?1a?1
42
，B?
a?1a?1
43
2
?A?B?
a?1a?1
2
?
a?1a?1
23
?
a?a?a?1?a?2a?1
(a?1)(a?1)
2
3
32
?
a(a?1)
2
3
(a?1)(a?1)
?0 ?A?B
5. 證明：?a?b?c?0
?(a?b?c)2?0，即a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac?0
又?
a?b?c?
abc
??
16(a
2
?b?c) ?abc?8
22
?a、b、c均不為零
?a?b?c?0
2
2
2
?
1a
?
1b
?
1c
?0
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