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傅里葉變換的意義
1、為什么要進(jìn)行 傅里葉變換，其物理意義是什么？
傅 立葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都 可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻 率、振幅和相位。
和傅立葉變換算法對應(yīng)的是反傅立 葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個信號。
因此，可以說，傅立葉變換將原來 難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信 號轉(zhuǎn)換成時域信號。
從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來看，傅里葉變 換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連 續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，盡管最初傅立葉分析 是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。
正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。
2、圖像傅立葉變換的物理意義
圖 像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于 地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的 譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將 圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻
率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為 灰度分布函數(shù)
傅立葉變換以 前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實空間）上的采樣得到一系列點的集合，我們習(xí)慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f(x,y)來 表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關(guān)系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應(yīng)關(guān)系。 為什么要提梯度？因為實際上對圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即使在 不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大�。ǹ梢赃@ 么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率 圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數(shù)更多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較�。�，反之，如果 頻譜圖中亮的點數(shù)多，那么實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱 分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移 頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻 濾波器消除干擾
另外我還想 說明以下幾點：
1、圖像經(jīng)過二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明：
若變換矩陣Fn原點設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近(圖中陰影區(qū))。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點設(shè)在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數(shù)矩陣的四個角上。這是由 二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。
2 、變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是 低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）
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傅里葉變換是將信號從時域轉(zhuǎn)換到頻域，這樣在時域上一些交叉在一起的、看不出來的信號的特性，在頻域上就很明顯的能看出來了。比如下圖：
Figure1，是a=0.4*sin(4*w*(x))的圖形，F(xiàn)igure2，是
b=1.6*cos(12*w*(x))的圖形。這兩個圖形，在時間 軸上，很容易看出來。但是兩個的和，也就是a+b，如Figure3所示，里面的一些信息就看不出來了。但是做一個傅里葉變換，轉(zhuǎn)換到頻域上，如 Figure4所示，就很明顯了。Figure4的橫坐標(biāo)是頻率，縱坐標(biāo)是幅值，就可以看出Figure3是有兩個信號組成的，頻率大的信號的幅值比較大 （就是b，由于此處用了fftshift，所以恰好相反），意義就比較明顯了。
附：上圖的Matlab程序
w=2*pi;
x=-1:0.01:1;
a=0.4*sin(4*w*(x));
b=1.6*cos(12*w*(x));
subplot(2,2,1);
plot(w*x,a),title('Figure 1 : a=0.4*sin(4*w*(x))'); subplot(2,2,2);
plot(w*x,b),title('Figure 2 : b=1.6*cos(12*w*(x))'); subplot(2,2,3);
plot(w*x,a+b),title('Figure 3 : a+b');
c=fft(a+b);
subplot(2,2,4);
plot(x,fftshift(abs(c))),title('Figure 4 : FFT');
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