勾股定理的無(wú)字證明

在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖(1)驗(yàn)證它的正確性;圖中大正方形的面積可表示為 ，也可表示為 ，即 由此推出勾股定理 ，這種根據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)“無(wú)字證明”。

(1)請(qǐng)你用圖(2)(2002年國(guó)際數(shù)字家大會(huì)會(huì)標(biāo))的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理(其中四個(gè)直角三角形全等)。

(2)請(qǐng)你用(3)提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證 ：

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(3)請(qǐng)你自己設(shè)計(jì)圖形的組合，用其面積表達(dá)式驗(yàn)證：

(x+p)(x+q)=x^2+px+qx+pq=x^2+(p+q)x+pq

2這個(gè)定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數(shù)學(xué)眾多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition一書(shū)中總共提到367種證明方式。

有人會(huì)嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù))來(lái)證明勾股定理，但是，因?yàn)樗�有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明(參見(jiàn)循環(huán)論證)。

利用相似三角形的證法

利用相似三角形證明

有許多勾股定理的證明方式，都是基于相似三角形中兩邊長(zhǎng)的比例。

設(shè)ABC為一直角三角形, 直角于角C(看附圖). 從點(diǎn)C畫(huà)上三角形的高，并將此高與AB的交叉點(diǎn)稱(chēng)之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因?yàn)樵趦蓚�(gè)三角形中都有一個(gè)直角(這又是由于“高”的定義)，而兩個(gè)三角形都有A這個(gè)共同角，由此可知第三只角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關(guān)系衍生出以下的比率關(guān)系：

因?yàn)锽C=a,AC=b,AB=c

所以a/c=HB/a and b/c=AH/b

可以寫(xiě)成a*a=c*HB and b*b=C*AH

綜合這兩個(gè)方程式，我們得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c

換句話(huà)說(shuō):a*a+b*b=c*c

[*]----為乘號(hào)

歐幾里得的證法

在歐幾里得的《幾何原本》一書(shū)中提出勾股定理由以下證明后可成立。 設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線(xiàn)至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊上的正方形。此線(xiàn)把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。

在正式的證明中，我們需要四個(gè)輔助定理如下：

如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。(SAS定理) 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積。 任意一個(gè)四方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積(據(jù)輔助定理3)。 證明的概念為：把上方的兩個(gè)正方形轉(zhuǎn)換成兩個(gè)同等面積的平行四邊形，再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形。

其證明如下：

設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫(huà)出過(guò)點(diǎn)A之BD、CE的平行線(xiàn)。此線(xiàn)將分別與BC和DE直角相交于K、L。 分別連接CF、AD，形成兩個(gè)三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線(xiàn)性對(duì)應(yīng)的，同理可證B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因?yàn)?AB 和 BD 分別等于 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等于△FBC。 因?yàn)?A 與 K 和 L是線(xiàn)性對(duì)應(yīng)的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積于△ABD。 因?yàn)镃、A和G有共同線(xiàn)性，所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC。 把這兩個(gè)結(jié)果相加， AB+ AC = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是個(gè)正方形，因此AB + AC = C。 此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書(shū)第1.47節(jié)所提出的

其余見(jiàn)： 勾股定理的美妙證明 [梁卷明網(wǎng)站： 梁卷明

2009年3月24日晚，我參加了廣西教研網(wǎng)的主題研討活動(dòng)之后，對(duì)勾股定理的證明作了進(jìn)一步的研究，2009年3月28日下午我終于發(fā)現(xiàn)了一個(gè)美妙的證明：

勾股定理：如圖，直角三角形ABC中：AC+BC=AB.

證明：如圖1,分別以AC、CB、BA為邊長(zhǎng)作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，則易知⊿ABC≌⊿RBS,從而點(diǎn)Q必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)R重合,則梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置;顯然⊿RSB≌⊿PTA, 如圖2，再把⊿RSB沿BA方向平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，則⊿RSB必與⊿PTA重合!

故有：正方形ACNM的面積+正方形CBSQ的面積=正方形BAPR的面積，即得：AC+BC=AB.

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