離散數學證明題

離散數學證明題

離散數學證明題:鏈為分配格

證明設a,b均是鏈A的元素，因為鏈中任意兩個元素均可比較，即有a≤b或a≤b，如果a≤b，則a,b的最大下界是a,最小上界是b，如果b≤a，則a,b的最大下界是b,最小上界是a，故鏈一定是格,下面證明分配律成立即可,對A中任意元素a,b,c分下面兩種情況討論:

⑴b≤a或c≤a

⑵a≤b且a≤c

如果是第⑴種情況,則a∪(b∩c)=a=(a∪b)∩(a∪c)

如果是第⑵種情況,則a∪(b∩c)=b∩c=(a∪b)∩(a∪c)

無論那種情況分配律均成立,故A是分配格.

一.線性插值(一次插值)

已知函數f(x)在區(qū)間[xk ,xk+1 ]的端點上的函數值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一個一次函數y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其幾何意義是已知平面上兩點(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一條直線過該已知兩點。

1. 插值函數和插值基函數

由直線的點斜式公式可知：

把此式按照 yk 和yk+1 寫成兩項:

記

并稱它們?yōu)橐淮尾逯祷�函數。該基函數的特點如下表：

從而

P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)

此形式稱之為拉格朗日型插值多項式。其中, 插值基函數與yk 、yk+1 無關，而由插值結點xk 、xk+1 所決定。一次插值多項式是插值基函數的線性組合, 相應的組合系數是該點的函數值yk 、yk+1 .

例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多項式求lg12的近似值。

解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010, 設

x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010

則插值基函數為：

于是, 拉格朗日型一次插值多項式為:

故 :

即lg12 由lg10 和lg20 兩個值的線性插值得到,且具有兩位有效數字(精確值lg12=1.0792).

二.二次插值多項式

已知函數y=f(x)在點xk-1 ,xk ,xk+1 上的函數值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一個次數不超過二次的多項式P2 (x), 使其滿足,

P2 (xk-1 )=yk-1 , P2 (xk )=yk , P2 (xk+1 )=yk+1 .

其幾何意義為:已知平面上的三個點

(xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),

求一個二次拋物線, 使得該拋物線經過這三點。

1.插值基本多項式

有三個插值結點xk-1 ,xk ,xk+1 構造三個插值基本多項式，要求滿足：

(1) 基本多項式為二次多項式; (2) 它們的函數值滿足下表：

因為lk-1 (xk )= 0,lk-1 (xk+1 )=0, 故有因子(x-xk )(x-xk+1 ), 而其已經是一個二次多項式, 僅相差一個常數倍, 可設

lk-1 (x)=a(x-xk )(x-xk+1 ),

又因為

lk-1 (xk-1 )=1 ==> a(xk-1 -xk )(xk-1 -xk+1 )=1

得

從而

同理得

基本二次多項式見右上圖(點擊按鈕“顯示Li”)。

2. 拉格朗日型二次插值多項式

由前述, 拉格朗日型二次插值多項式:

P2 (x)=yk-1 lk-1 (x)+yk lk (x)+yk+1 lk+1 (x),P2 (x)

是三個二次插值多項式的線性組合,因而其是次數不超過二次的多項式,且滿足:

P2 (xi )=yi , (i=k-1,k,k+1) 。

例2 已知：

xi 10 15 20

yi=lgxi 1 1.1761 1.3010

利用此三值的二次插值多項式求lg12的近似值。

解：設x0 =10,x1 =15,x2 =20,則:

故:

所以

7利用三個點進行拋物插值得到lg12的值,與精確值lg12=1.0792相比,具有3位有效數字,精度提高了。

三、拉格朗日型n次插值多項式

已知函數y=f(x)在n+1個不同的點x0 ,x1 ,…,x2 上的函數值分別為

y0 ,y1 ,…,yn ,求一個次數不超過n的多項式Pn (x),使其滿足:

Pn (xi )=yi , (i=0,1,…,n),

即n+1個不同的點可以唯一決定一個n次多項式。

1. 插值基函數

過n+1個不同的點分別決定n+1個n次插值基函數

l0 (x),l1 (x),…,ln (X)

每個插值基本多項式li (x)滿足：

(1) li (x)是n次多項式;

(2) li (xi )=1,而在其它n個li (xk )=0 ,(k≠i)。

由于li (xk )=0 ,(k≠i), 故有因子:

(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )

因其已經是n次多項式，故而僅相差一個常數因子。令:

li (x)=a(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )

由li (xi )=1,可以定出a, 進而得到：

2. n次拉格朗日型插值多項式Pn (x)

Pn (x)是n+1個n次插值基本多項式l0 (x),l1 (x),…,ln (X)的線性組合,相應的組合系數是y0 ,y1 ,…,yn 。即:

Pn (x)=y0 l0 (x)+y1 l1 (x)+…+yn ln (x) ,

從而Pn (x)是一個次數不超過n的多項式,且滿足

Pn (xi )=yi , (i=0,1,2,…,n).

例3 求過點(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多項式。

解 用4次插值多項式對5個點插值。

所以

四、拉格朗日插值多項式的截斷誤差

我們在[a,b]上用多項式Pn (x) 來近似代替函數f(x), 其截斷誤差記作

Rn (x)=f(x)-Pn (x)

當x在插值結點xi 上時Rn (xi )=f(xi )-P n(xi )=0,下面來估計截斷誤差：

定理1：設函數y=f(x)的n階導數y(n) =f(n) (x)在[a,b]上連續(xù)，

y(n+1) = f(n+1) (x)

在(a,b)上存在;插值結點為:

a≤x0

Pn (x)是n次拉格朗日插值多項式;則對任意x∈[a,b]有：

其中ξ∈(a,b), ξ依賴于x：ωn+1 (x)=(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )

證明：由插值多項式的要求：

Rn(xi )=f(xi )-Pn (xi )=0，(i=0,1,2,…,n);

設

Rn (x)=K(x)(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )=K(x)ωn+1 (x)

其中K(x)是待定系數;固定x∈[a,b]且x≠xk ，k=0,1,2,…,n;作函數

H(t)=f(t)-Pn (t)-K(x)(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn )

則 H(xk )=0，(k=0,1,2,…,n), 且H(x)=f(x)-Pn (x)-Rn(x)=0, 所以，

H(t)在[a,b]上有n+2個零點，反復使用羅爾中值定理:存在ξ∈(a,b),

使; 因Pn (x)是n次多項式，故P(n+1) (ξ)=0, 而

ωn+1 (t)=(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn )

是首項系數為1的n+1次多項式，故有

于是

H(n+1) (ξ)=f(n+1)(ξ)-(n+1)!K(x)

得：

所以

設 , 則：

易知，線性插值的截斷誤差為:

二次插值的截斷誤差為:

下面來分析前面兩個例子(例1，例2)中計算lg12的截斷誤差：

在例1中，用lg10和lg20計算lg12,

P1(12)=1.0602,lg12=1.0792

e=|1.0792-1.0602|=0.0190;

估計誤差：f(x)=lgx,

,當x∈[10,20]時,

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