證明二重極限不存在

如何判斷二重極限(即二元函數(shù)極限)不存在,是二元函數(shù)這一節(jié)的難點(diǎn),在這里筆者對(duì)這一問題不打算做詳細(xì)的討論,只是略談一下在判斷二重極限不存在時(shí),一個(gè)值得注意的問題。由二重極限的定義知,要討論limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找?guī)讞l通過(或趨于)定點(diǎn)(x0,y0)的特殊曲線,如果動(dòng)點(diǎn)(x,y)沿這些曲線趨于(x0,y0)時(shí),f(x,y)趨于不同的值,則可判定二重極限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,這一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲線時(shí),是有一定技巧的,不過不管找哪條曲線,這條曲線一定要經(jīng)過(x0,y0),并且定點(diǎn)是這條曲線的非孤立點(diǎn),這一點(diǎn)很容易疏忽大意,特別是為圖方便,對(duì)于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的極限,在判斷其不存在時(shí),不少人找的曲線是f(x,y)-g(x,y)=0,這樣做就很容易出錯(cuò)。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲線x2y-(x2+y2)=0→(0,0)時(shí),所得的結(jié)論就不同(這時(shí)f(x,y)→1)。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢?仔細(xì)分析一下就不難得到答案

2

若用沿曲線，( ，y)一g( ，y)=0趨近于( ，y0)來討論，一0g ，Y 。�？赡軙�(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，只有證明了( ，)不是孤立點(diǎn)后才不會(huì)出錯(cuò)。[關(guān)鍵詞】二重極限;存在性;孤立點(diǎn)[中圖分類號(hào)]o13 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判斷二重極限(即二元函數(shù)極限)不存在。是二元函數(shù)這一節(jié)的難點(diǎn)，在這里筆者對(duì)這一問題不打算做詳細(xì)的討論。只是略談一下在判斷二重極限不存在時(shí)。一個(gè)值得注意的問題。由二重極限的定義知，要討論limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找?guī)讞l通過(或趨于)定點(diǎn)(xo，Yo)的特殊曲線，如果動(dòng)點(diǎn)(x，Y)沿這些曲線趨于(xo，Y。)時(shí)，f(x，Y)趨于不同的值，則可判定二重極限limf(x，Y)不存在，這一方I—’10 r’Y0 法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲線時(shí)，是有一定技巧的，不過不管找哪條曲線，這條曲線一定要經(jīng)過(xo，Y。)，并且定點(diǎn)是這條曲線的非孤立點(diǎn)，這一點(diǎn)很容易疏忽大意，特別是為圖方便，對(duì)于型如2 的極限，在判卜’Io g x，Y y—·y0 斷其不存在時(shí)，不少人找的曲線是f(x，y)一g(x，y)：0，這樣做就很容易出錯(cuò)。

3

當(dāng)沿曲線y=-x+x^2趨于(0 0)時(shí)，極限為 lim (-x^2+x^3)/x^2=-1;

當(dāng)沿直線y=x趨于(0 0)時(shí)，極限為 lim x^2/2x=0。故極限不存在。

4

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次極限存在：

x-y+x^2+y^2

l i m l i m ———————— =-1

y->0x->0 x+y

x-y+x^2+y^2

l i m l i m ———————— =1

x->0y->0 x+y

當(dāng)沿斜率不同的直線y=mx,(x,y)->(0,0)時(shí)，易證極限不同，所以它的二重極限不存在。

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