河北中考數學試題及答案

　　2017河北中考數學試題及答案出來了，下面是小編收集整理的2017河北中考數學試題及答案，歡迎閱讀參考!!

　　一、選擇題(共16小題，1~6小題，每小題2分;7~16小題，每小題2分，共42分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

　　1.(2分)(2017河北)﹣2是2的(　　)

　　A. 倒數 B. 相反數 C. 絕對值 D. 平方根

　　考點： 相反數.

　　分析： 根據只有符號不同的兩個數互為相反數，可得一個數的相反數.

　　解答： 解：﹣2是2的相反數，

　　故選：B.

　　點評： 本題考查了相反數，在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數.

　　2.(2分)(2014河北)如圖，△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點.若DE=2，則BC=(　　)

　　A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

　　考點： 三角形中位線定理.

　　分析： 根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得BC=2DE.

　　解答： 解：∵D，E分別是邊AB，AC的中點，

　　∴DE是△ABC的中位線，

　　∴BC=2DE=2×2=4.

　　故選C.

　　點評： 本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理是解題的關鍵.

　　3.(2分)(2014河北)計算：852﹣152=(　　)

　　A. 70 B. 700 C. 4900 D. 7000

　　考點： 因式分解-運用公式法.

　　分析： 直接利用平方差進行分解，再計算即可.

　　解答： 解：原式=(85+15)(85﹣15)

　　=100×70

　　=7000.

　　故選：D.

　　點評： 此題主要考查了公式法分解因式，關鍵是掌握平方差公式：a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).

　　4.(2分)(2014河北)如圖，平面上直線a，b分別過線段OK兩端點(數據如圖)，則a，b相交所成的銳角是(　　)

　　A. 20° B. 30° C. 70° D. 80°

　　考點： 三角形的外角性質

　　分析： 根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解.

　　解答： 解：a，b相交所成的銳角=100°﹣70°=30°.

　　故選B.

　　點評： 本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質是解題的關鍵.

　　5.(2分)(2014河北)a，b是兩個連續(xù)整數，若a<

　　A. 2，3 B. 3，2 C. 3，4 D. 6，8

　　考點： 估算無理數的大小.

　　分析： 根據 ，可得答案.

　　解答： 解： ，

　　故選：A.

　　點評： 本題考查了估算無理數的大小， 是解題關鍵.

　　6.(2分)(2014河北)如圖，直線l經過第二、三、四象限，l的解析式是y=(m﹣2)x+n，則m的取值范圍在數軸上表示為(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 一次函數圖象與系數的關系;在數軸上表示不等式的解集

　　專題： 數形結合.

　　分析： 根據一次函數圖象與系數的關系得到m﹣2<0且n<0，解得m<2，然后根據數軸表示不等式的方法進行判斷.

　　解答： 解：∵直線y=(m﹣2)x+n經過第二、三、四象限，

　　∴m﹣2<0且n<0，

　　∴m<2且n<0.

　　故選C.

　　點評： 本題考查了一次函數圖象與系數的關系：一次函數y=kx+b(k、b為常數，k≠0)是一條直線，當k>0，圖象經過第一、三象限，y隨x的增大而增大;當k<0，圖象經過第二、四象限，y隨x的增大而減小;圖象與y軸的交點坐標為(0，b).也考查了在數軸上表示不等式的解集.

　　7.(3分)(2014河北)化簡： ﹣ =(　　)

　　A. 0 B. 1 C. x D.

　　考點： 分式的加減法.

　　專題： 計算題.

　　分析： 原式利用同分母分式的減法法則計算，約分即可得到結果.

　　解答： 解：原式= =x.

　　故選C

　　點評： 此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

　　8.(3分)(2014河北)如圖，將長為2、寬為1的矩形紙片分割成n個三角形后，拼成面積為2的正方形，則n≠(　　)

　　A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

　　考點： 圖形的剪拼

　　分析： 利用矩形的性質以及正方形的性質，結合勾股定理得出分割方法即可.

　　解答： 解：如圖所示：將長為2、寬為1的矩形紙片分割成n個三角形后，拼成面積為2的正方形，

　　則n可以為：3，4，5，

　　故n≠2.

　　故選：A.

　　點評： 此題主要考查了圖形的剪拼，得出正方形的邊長是解題關鍵.

　　9.(3分)(2014河北)某種正方形合金板材的成本y(元)與它的面積成正比，設邊長為x厘米.當x=3時，y=18，那么當成本為72元時，邊長為(　　)

　　A. 6厘米 B. 12厘米 C. 24厘米 D. 36厘米

　　考點： 一次函數的應用.

　　分析： 設y與x之間的函數關系式為y=kx2，由待定系數法就可以求出解析式，當y=72時代入函數解析式就可以求出結論.

　　解答： 解：設y與x之間的函數關系式為y=kx2，由題意，得

　　18=9k，

　　解得：k=2，

　　∴y=2x2，

　　當y=72時，72=2x2，

　　∴x=6.

　　故選A.

　　點評： 本題考查了待定系數法求函數的解析式的運用，根據解析式由函數值求自變量的值的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵.

　　10.(3分)(2014河北)如圖1是邊長為1的六個小正方形組成的圖形，它可以圍成圖2的正方體，則圖1中小正方形頂點A，B圍成的正方體上的距離是(　　)

　　A. 0 B. 1 C. D.

　　考點： 展開圖折疊成幾何體

　　分析： 根據展開圖折疊成幾何體，可得正方體，根據勾股定理，可得答案.

　　解答： 解;AB是正方體的邊長，

　　AB=1，

　　故選：B.

　　點評： 本題考查了展開圖折疊成幾何體，勾股定理是解題關鍵.

　　11.(3分)(2014河北)某小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統計了某一結果出現的頻率，繪制了如圖的折線統計圖，則符合這一結果的實驗最有可能的是(　　)

　　A. 在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”

　　B. 一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

　　C. 暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球

　　D. 擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是4

　　考點： 利用頻率估計概率;折線統計圖.

　　分析： 根據統計圖可知，試驗結果在0.17附近波動，即其概率P≈0.17，計算四個選項的概率，約為0.17者即為正確答案.

　　解答： 解：A、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀“的概率為 ，故此選項錯誤;

　　B、一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是： = ;故此選項錯誤;

　　C、暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球的概率為 ，故此選項錯誤;

　　D、擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是4的概率為 ≈0.17，故此選項正確.

　　故選：D.

　　點評： 此題考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率.用到的知識點為：頻率=所求情況數與總情況數之比.同時此題在解答中要用到概率公式.

　　12.(3分)(2014河北)如圖，已知△ABC(AC

　　A. B. C. D.

　　考點： 作圖—復雜作圖

　　分析： 要使PA+PC=BC，必有PA=PB，所以選項中只有作AB的中垂線才能滿足這個條件，故D正確.

　　解答： 解：D選項中作的是AB的中垂線，

　　∴PA=PB，

　　∵PB+PC=BC，

　　∴PA+PC=BC

　　故選：D.

　　點評： 本題主要考查了作圖知識，解題的關鍵是根據作圖得出PA=PB.

　　13.(3分)(2014河北)在研究相似問題時，甲、乙同學的觀點如下：

　　甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相似.

　　乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似.

　　對于兩人的觀點，下列說法正確的是(　　)

　　A. 兩人都對 B. 兩人都不對 C. 甲對，乙不對 D. 甲不對，乙對

　　考點： 相似三角形的判定;相似多邊形的性質

　　分析： 甲：根據題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可證得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′;

　　乙：根據題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，則可得 ，即新矩形與原矩形不相似.

　　解答： 解：甲：根據題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，

　　∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，

　　∴△ABC∽△A′B′C′，

　　∴甲說法正確;

　　乙：∵根據題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，

　　∴ ， ，

　　∴ ，

　　∴新矩形與原矩形不相似.

　　∴乙說法正確.

　　故選A.

　　點評： 此題考查了相似三角形以及相似多邊形的判定.此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用.

　　14.(3分)(2014河北)定義新運算：a⊕b= 例如：4⊕5= ，4⊕(﹣5)= .則函數y=2⊕x(x≠0)的圖象大致是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 反比例函數的圖象

　　專題： 新定義.

　　分析： 根據題意可得y=2⊕x= ，再根據反比例函數的性質可得函數圖象所在象限和形狀，進而得到答案.

　　解答： 解：由題意得：y=2⊕x= ，

　　當x>0時，反比例函數y= 在第一象限，

　　當x<0時，反比例函數y=﹣ 在第二象限，

　　又因為反比例函數圖象是雙曲線，因此D選項符合，

　　故選：D.

　　點評： 此題主要考查了反比例函數的性質，關鍵是掌握反比例函數的圖象是雙曲線.

　　15.(3分)(2014河北)如圖，邊長為a的正六邊形內有兩個三角形(數據如圖)，則 =(　　)

　　A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

　　考點： 正多邊形和圓

　　分析： 先求得兩個三角形的面積，再求出正六邊形的面積，求比值即可.

　　解答： 解：如圖，

　　∵三角形的斜邊長為a，

　　∴兩條直角邊長為 a， a，

　　∴S空白= a a= a2，

　　∵AB=a，

　　∴OC= a，

　　∴S正六邊形=6× a a= a2，

　　∴S陰影=S正六邊形﹣S空白= a2﹣ a2= a2，

　　∴ = =5，

　　故選C.

　　點評： 本題考查了正多邊形和圓，正六邊形的邊長等于半徑，面積可以分成六個等邊三角形的面積來計算.

　　16.(3分)(2014河北)五名學生投籃球，規(guī)定每人投20次，統計他們每人投中的次數.得到五個數據.若這五個數據的中位數是6.唯一眾數是7，則他們投中次數的總和可能是(　　)

　　A. 20 B. 28 C. 30 D. 31

　　考點： 眾數;中位數.

　　分析： 找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數或兩個數的平均數為中位數，眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不止一個.則最大的三個數的和是：6+7+7=20，兩個較小的數一定是小于5的非負整數，且不相等，則可求得五個數的和的范圍，進而判斷.

　　解答： 解：中位數是6.唯一眾數是7，

　　則最大的三個數的和是：6+7+7=20，兩個較小的數一定是小于5的非負整數，且不相等，

　　則五個數的和一定大于20且小于29.

　　故選B.

　　點評： 本題屬于基礎題，考查了確定一組數據的中位數和眾數的能力.一些學生往往對這個概念掌握不清楚，計算方法不明確而誤選其它選項，注意找中位數的時候一定要先排好順序，然后再根據奇數和偶數個來確定中位數，如果數據有奇數個，則正中間的數字即為所求，如果是偶數個則找中間兩位數的平均數.

　　二、填空題(共4小題，每小題3分，滿分12分)

　　17.(3分)(2014河北)計算： =　2　.

　　考點： 二次根式的乘除法.

　　分析： 本題需先對二次根式進行化簡，再根據二次根式的乘法法則進行計算即可求出結果.

　　解答： 解： ，

　　=2 × ，

　　=2.

　　故答案為：2.

　　點評： 本題主要考查了二次根式的乘除法，在解題時要能根據二次根式的乘法法則，求出正確答案是本題的關鍵.

　　18.(3分)(2014河北)若實數m，n 滿足|m﹣2|+(n﹣2014)2=0，則m﹣1+n0=　 　.

　　考點： 負整數指數冪;非負數的性質：絕對值;非負數的性質：偶次方;零指數冪.

　　分析： 根據絕對值與平方的和為0，可得絕對值與平方同時為0，根據負整指數冪、非0的0次冪，可得答案.

　　解答： 解：|m﹣2|+(n﹣2014)2=0，

　　m﹣2=0，n﹣2014=0，

　　m=2，n=2014.

　　m﹣1+n0=2﹣1+20140= +1= ，

　　故答案為： .

　　點評： 本題考查了負整指數冪，先求出m、n的值，再求出負整指數冪、0次冪.

　　19.(3分)(2014河北)如圖，將長為8cm的鐵絲尾相接圍成半徑為2cm的扇形.則S扇形=　4　cm2.

　　考點： 扇形面積的計算.

　　分析： 根據扇形的面積公式S扇形= ×弧長×半徑求出即可.

　　解答： 解：由題意知，弧長=8cm﹣2cm×2=4 cm，

　　扇形的面積是 ×4cm×2cm=4cm2，

　　故答案為：4.

　　點評： 本題考查了扇形的面積公式的應用，主要考查學生能否正確運用扇形的面積公式進行計算，題目比較好，難度不大.

　　20.(3分)(2014河北)如圖，點O，A在數軸上表示的數分別是0，0.1.

　　將線段OA分成100等份，其分點由左向右依次為M1，M2，…，M99;

　　再將線段OM1，分成100等份，其分點由左向右依次為N1，N2，…，N99;

　　繼續(xù)將線段ON1分成100等份，其分點由左向右依次為P1，P2.…，P99.

　　則點P37所表示的數用科學記數法表示為　3.7×10﹣6　.

　　考點： 規(guī)律型：圖形的變化類;科學記數法—表示較小的數.

　　分析： 由題意可得M1表示的數為0.1× =10﹣3，N1表示的數為0 ×10﹣3=10﹣5，P1表示的數為10﹣5× =10﹣7，進一步表示出點P37即可.

　　解答： 解：M1表示的數為0.1× =10﹣3，

　　N1表示的數為0 ×10﹣3=10﹣5，

　　P1表示的數為10﹣5× =10﹣7，

　　P37=37×10﹣7=3.7×10﹣6.

　　故答案為：3.7×10﹣6.

　　點評： 此題考查圖形的變化規(guī)律，結合圖形，找出數字之間的運算方法，找出規(guī)律，解決問題.

　　三、解答題(共6小題，滿分66分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

　　21.(10分)(2014河北)嘉淇同學用配方法推導一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式時，對于b2﹣4ac>0的情況，她是這樣做的：

　　由于a≠0，方程ax2++bx+c=0變形為：

　　x2+ x=﹣ ，…第一步

　　x2+ x+( )2=﹣ +( )2，…第二步

　　(x+ )2= ，…第三步

　　x+ = (b2﹣4ac>0)，…第四步

　　x= ，…第五步

　　嘉淇的解法從第　四　步開始出現錯誤;事實上，當b2﹣4ac>0時，方程ax2+bx+c=0(a≠O)的求根公式是　x= 　.

　　用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0.

　　考點： 解一元二次方程-配方法

　　專題： 閱讀型.

　　分析： 第四步，開方時出錯;把常數項24移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數﹣2的一半的平方.

　　解答： 解：在第四步中，開方應該是x+ =± .所以求根公式為：x= .

　　故答案是：四;x= ;

　　用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0

　　解：移項，得

　　x2﹣2x=24，

　　配方，得

　　x2﹣2x+1=24+1，

　　即(x﹣1)2=25，

　　開方得x﹣1=±5，

　　∴x1=6，x2=﹣4.

　　點評： 本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法.

　　用配方法解一元二次方程的步驟：

　　(1)形如x2+px+q=0型：第一步移項，把常數項移到右邊;第二步配方，左右兩邊加上一次項系數一半的平方;第三步左邊寫成完全平方式;第四步，直接開方即可.

　　(2)形如ax2+bx+c=0型，方程兩邊同時除以二次項系數，即化成x2+px+q=0，然后配方.

　　22.(10分)(2014河北)如圖1，A，B，C是三個垃圾存放點，點B，C分別位于點A的正北和正東方向，AC=100米.四人分別測得∠C的度數如下表：

　　甲 乙 丙 丁

　　∠C(單位：度) 34 36 38 40

　　他們又調查了各點的垃圾量，并繪制了下列尚不完整的統計圖2，圖3：

　　(1)求表中∠C度數的平均數 ：

　　(2)求A處的垃圾量，并將圖2補充完整;

　　(3)用(1)中的 作為∠C的度數，要將A處的垃圾沿道路AB都運到B處，已知運送1千克垃圾每米的費用為0.005元，求運垃圾所需的費用.(注：sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75)

　　考點： 解直角三角形的應用;扇形統計圖;條形統計圖;算術平均數

　　分析： (1)利用平均數求法進而得出答案;

　　(2)利用扇形統計圖以及條形統計圖可得出C處垃圾量以及所占百分比，進而求出垃圾總量，進而得出A處垃圾量;

　　(3)利用銳角三角函數得出AB的長，進而得出運垃圾所需的費用.

　　解答： 解：(1) = =37;

　　(2)∵C處垃圾存放量為：320kg，在扇形統計圖中所占比例為：50%，

　　∴垃圾總量為：320÷50%=640(kg)，

　　∴A處垃圾存放量為：(1﹣50%﹣37.5%)×640=80(kg)，占12.5%.

　　補全條形圖如下：

　　(3)∵AC=100米，∠C=37°，

　　∴tan37°= ，

　　∴AB=ACtan37°=100×0.75=75(m)，

　　∵運送1千克垃圾每米的費用為0.005元，

　　∴運垃圾所需的費用為：75×80×0.005=30(元)，

　　答：運垃圾所需的費用為30元.

　　點評： 此題主要考查了平均數求法以及銳角三角三角函數關系以及條形統計圖與扇形統計圖的綜合應用，利用扇形統計圖與條形統計圖獲取正確信息是解題關鍵.

　　23.(11分)(2014河北)如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°.得到△ADE，連接BD，CE交于點F.

　　(1)求證：△ABD≌△ACE;

　　(2)求∠ACE的度數;

　　(3)求證：四邊形ABEF是菱形.

　　考點： 全等三角形的判定與性質;菱形的判定;旋轉的性質

　　專題： 計算題.

　　分析： (1)根據旋轉角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等.

　　(2)根據全等三角形對應角相等，得出∠ACE=∠ABD，即可求得.

　　(3)根據對角相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形ABEF是平行四邊形，然后依據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可證得.

　　解答： (1)證明：∵ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°，

　　∴∠BAC=∠DAE=40°，

　　∴∠BAD=∠CAE=100°，

　　又∵AB=AC，

　　∴AB=AC=AD=AE，

　　在△ABD與△ACE中

　　∴△ABD≌△ACE(SAS).

　　(2)解：∵∠CAE=100°，AC=AE，

　　∴∠ACE= (180°﹣∠CAE)= (180°﹣100°)=40°;

　　(3)證明：∵∠BAD=∠CAE=140°AB=AC=AD=AE，

　　∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=20°.

　　∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=160°，

　　∴∠BFE=360°﹣∠DAE﹣∠ABD﹣∠AEC=160°，

　　∴∠BAE=∠BFE，

　　∴四邊形ABEF是平行四邊形，

　　∵AB=AE，

　　∴平行四邊形ABEF是菱形.

　　點評： 此題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質以及菱形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵.

　　24.(11分)(2014河北)如圖，2×2網格(每個小正方形的邊長為1)中有A，B，C，D，E，F，G、H，O九個格點.拋物線l的解析式為y=(﹣1)nx2+bx+c(n為整數).

　　(1)n為奇數，且l經過點H(0，1)和C(2，1)，求b，c的值，并直接寫出哪個格點是該拋物線的頂點;

　　(2)n為偶數，且l經過點A(1，0)和B(2，0)，通過計算說明點F(0，2)和H(0，1)是否在該拋物線上;

　　(3)若l經過這九個格點中的三個，直接寫出所有滿足這樣條件的拋物線條數.

　　考點： 二次函數綜合題

　　專題： 壓軸題.

　　分析： (1)根據﹣1的奇數次方等于﹣1，再把點H、C的坐標代入拋物線解析式計算即可求出b、c的值，然后把函數解析式整理成頂點式形式，寫出頂點坐標即可;

　　(2)根據﹣1的偶數次方等于1，再把點A、B的坐標代入拋物線解析式計算即可求出b、c的值，從而得到函數解析式，再根據拋物線上點的坐標特征進行判斷;

　　(3)分別利用(1)(2)中的結論，將拋物線平移，可以確定拋物線的條數.

　　解答： 解：(1)n為奇數時，y=﹣x2+bx+c，

　　∵l經過點H(0，1)和C(2，1)，

　　∴ ，

　　解得 ，

　　∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+1，

　　y=﹣(x﹣1)2+2，

　　∴頂點為格點E(1，2);

　　(2)n為偶數時，y=x2+bx+c，

　　∵l經過點A(1，0)和B(2，0)，

　　∴ ，

　　解得 ，

　　∴拋物線解析式為y=x2﹣3x+2，

　　當x=0時，y=2，

　　∴點F(0，2)在拋物線上，點H(0，1)不在拋物線上;

　　(3)所有滿足條件的拋物線共有8條.

　　當n為奇數時，由(1)中的拋物線平移又得到3條拋物線，如答圖3﹣1所示;

　　當n為偶數時，由(2)中的拋物線平移又得到3條拋物線，如答圖3﹣2所示.

　　點評： 本題是二次函數綜合題型，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的對稱性，要注意(3)拋物線有開口向上和開口向下兩種情況.

　　25.(11分)(2014河北)圖1和圖2中，優(yōu)弧 所在⊙O的半徑為2，AB=2 .點P為優(yōu)弧 上一點(點P不與A，B重合)，將圖形沿BP折疊，得到點A的對稱點A′.

　　(1)點O到弦AB的距離是　1　，當BP經過點O時，∠ABA′=　60　°;

　　(2)當BA′與⊙O相切時，如圖2，求折痕的長：

　　(3)若線段BA′與優(yōu)弧 只有一個公共點B，設∠ABP=α.確定α的取值范圍.

　　考點： 圓的綜合題;含30度角的直角三角形;勾股定理;垂徑定理;切線的性質;翻折變換(折疊問題);銳角三角函數的定義

　　專題： 綜合題.

　　分析： (1)利用垂徑定理和勾股定理即可求出點O到AB的距離;利用銳角三角函數的定義及軸對稱性就可求出∠ABA′.

　　(2)根據切線的性質得到∠OBA′=90°，從而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，進而求出∠OBP=30°.過點O作OG⊥BP，垂足為G，容易求出OG、BG的長，根據垂徑定理就可求出折痕的長.

　　(3)根據點A′的位置不同，分點A′在⊙O內和⊙O外兩種情況進行討論.點A′在⊙O內時，線段BA′與優(yōu)弧 都只有一個公共點B，α的范圍是0°<α<30°;當點A′在⊙O的外部時，從BA′與⊙O相切開始，以后線段BA′與優(yōu)弧 都只有一個公共點B，α的范圍是60°≤α<120°.從而得到：線段BA′與優(yōu)弧 只有一個公共點B時，α的取值范圍是0°<α<30°或60°≤α<120°.

　　解答： 解：(1)①過點O作OH⊥AB，垂足為H，連接OB，如圖1①所示.

　　∵OH⊥AB，AB=2 ，

　　∴AH=BH= .

　　∵OB=2，

　　∴OH=1.

　　∴點O到AB的距離為1.

　�、诋擝P經過點O時，如圖1②所示.

　　∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，

　　∴sin∠OBH= = .

　　∴∠OBH=30°.

　　由折疊可得：∠A′BP=∠ABP=30°.

　　∴∠ABA′=60°.

　　故答案為：1、60.

　　(2)過點O作OG⊥BP，垂足為G，如圖2所示.

　　∵BA′與⊙O相切，

　　∴OB⊥A′B.

　　∴∠OBA′=90°.

　　∵∠OBH=30°，

　　∴∠ABA′=120°.

　　∴∠A′BP=∠ABP=60°.

　　∴∠OBP=30°.

　　∴OG= OB=1.

　　∴BG= .

　　∵OG⊥BP，

　　∴BG=PG= .

　　∴BP=2 .

　　∴折痕的長為2 .

　　(3)若線段BA′與優(yōu)弧 只有一個公共點B，

　　Ⅰ.當點A′在⊙O的內部時，此時α的范圍是0°<α<30°.

　�、�.當點A′在⊙O的外部時，此時α的范圍是60°≤α<120°.

　　綜上所述：線段BA′與優(yōu)弧 只有一個公共點B時，α的取值范圍是0°<α<30°或60°≤α<120°.

　　點評： 本題考查了切線的性質、垂徑定理、勾股定理、三角函數的定義、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、翻折問題等知識，考查了用臨界值法求α的取值范圍，有一定的綜合性.第(3)題中α的范圍可能考慮不夠全面，需要注意.

　　26.(13分)(2014河北)某景區(qū)內的環(huán)形路是邊長為800米的正方形ABCD，如圖1和圖2.現有1號、2號兩游覽車分別從出口A和景點C同時出發(fā)，1號車順時針、2號車逆時針沿環(huán)形路連續(xù)循環(huán)行駛，供游客隨時免費乘車(上、下車的時間忽略不計)，兩車速度均為200米/分.

　　探究：設行駛吋間為t分.

　　(1)當0≤t≤8時，分別寫出1號車、2號車在左半環(huán)線離出口A的路程y1，y2(米) 與t(分)的函數關系式，并求出當兩車相距的路程是400米時t的值;

　　(2)t為何值時，1號車第三次恰好經過景點C?并直接寫出這一段時間內它與2號車相遇過的次數.

　　發(fā)現：如圖2，游客甲在BC上的一點K(不與點B，C重合)處候車，準備乘車到出口A，設CK=x米.

　　情況一：若他剛好錯過2號車，便搭乘即將到來的1號車;

　　情況二：若他剛好錯過1號車，便搭乘即將到來的2號車.

　　比較哪種情況用時較多?(含候車時間)

　　決策：己知游客乙在DA上從D向出口A走去.步行的速度是50米/分.當行進到DA上一點P (不與點D，A重合)時，剛好與2號車迎面相遇.

　　(1)他發(fā)現，乘1號車會比乘2號車到出口A用時少，請你簡要說明理由：

　　(2)設PA=s(0

　　考點： 一次函數的應用;一元一次方程的應用;一元一次不等式組的應用.

　　分析： 探究：(1)由路程=速度×時間就可以得出y1，y2(米) 與t(分)的函數關系式，再由關系式就可以求出兩車相距的路程是400米時t的值;

　　(2)求出1號車3次經過A的路程，進一步求出行駛的時間，由兩車第一次相遇后每相遇一次需要的時間就可以求出相遇次數;

　　發(fā)現：分別計算出情況一的用時和情況二的用時，在進行大小比較就可以求出結論

　　決策：(1)根據題意可以得出游客乙在AD上等待乘1號車的距離小于邊長，而成2號車到A出口的距離大于3個邊長，進而得出結論;

　　(2)分類討論，若步行比乘1號車的用時少，就有 ，得出s<320.就可以分情況得出結論.

　　解答： 解：探究：(1)由題意，得

　　y1=200t，y2=﹣200t+1600

　　當相遇前相距400米時，

　　﹣200t+1600﹣200t=400，

　　t=3，

　　當相遇后相距400米時，

　　200t﹣(﹣200t+1600)=400，

　　t=5.

　　答：當兩車相距的路程是400米時t的值為3分鐘或5分鐘;

　　(2)由題意，得

　　1號車第三次恰好經過景點C行駛的路程為：800×2+800×4×2=8000，

　　∴1號車第三次經過景點C需要的時間為：8000÷200=40分鐘，

　　兩車第一次相遇的時間為：1600÷400=4.

　　第一次相遇后兩車每相遇一次需要的時間為：800×4÷400=8，

　　∴兩車相遇的次數為：(40﹣4)÷8+1=5次.

　　∴這一段時間內它與2號車相遇的次數為：5次;

　　發(fā)現：由題意，得

　　情況一需要時間為： =16﹣ ，

　　情況二需要的時間為： =16+

　　∵16﹣ <16+

　　∴情況二用時較多.

　　決策：(1)∵游客乙在AD邊上與2號車相遇，

　　∴此時1號車在CD邊上，

　　∴乘1號車到達A的路程小于2個邊長，乘2號車的路程大于3個邊長，

　　∴乘1號車的用時比2號車少.

　　(2)若步行比乘1號車的用時少，

　　，

　　∴s<320.

　　∴當0

　　同理可得

　　當320

　　當s=320時，選擇步行或乘1號車一樣.

　　點評： 本題考查了一次函數的解析式的運用，一元一次方程的運用，一元一次不等式的運用，分類討論思想的運用，方案設計的運用，解答時求出函數的解析式是解答本題的關鍵.

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