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宜昌市中考數(shù)學(xué)試題解析(4)
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AC⊥BD,
∴∠AEB=90°.
又∵∠FDE=90°,
∴∠AEB=∠FDE,
∴AC∥DF,
∴四邊形FACD是平行四邊形;
(3)①連接GE,如圖.
∵四邊形ABCD是菱形,∴點E為AC中點.
∵G為線段DC的中點,∴GE∥DA,
∴∠FHI=∠FGE.
∵EF是⊙O的直徑,∴∠FGE=90°,
∴∠FHI=90°.
∵∠DEC=∠AEB=90°,G為線段DC的中點,
∴DG= GE,
∴ = ,
∴∠1=∠2.
∵∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,
∴∠3=∠4,
∴FD=FI;
②∵AC∥DF,∴∠3=∠6.
∵∠4=∠5,∠3=∠4,
∴∠5=∠6,∴EI=EA.
∵四邊形ABCD是菱形,四邊形FACD是平行四邊形,
∴DE= BD=n,AE= AC=m,F(xiàn)D=AC=2m,
∴EF=FI+IE=FD+AE=3m.
在Rt△EDF中,根據(jù)勾股定理可得:
n2+(2m)2=(3m)2,
即n= m,
∴S⊙O=π( )2= πm2,S菱形ABCD= 2m2n=2mn=2 m2,
∴S⊙O:S菱形ABCD= .
點評: 本題主要考查了菱形的性質(zhì)、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形中位線定理、等角的余角相等、等角 對等邊、平行線的性質(zhì)、勾股定理、圓及菱形的面積公式等知識,綜合性強(qiáng),證到IE=EA,進(jìn)而得到EF=3m是解決第3(2)小題的關(guān)鍵.
24.(12分)(2015宜昌)如圖1,B(2m,0),C(3m,0)是平面直角坐標(biāo)系中兩點,其中m為常數(shù),且m>0,E(0,n)為y軸上一動點,以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD,使AB=2BC,畫射線OA,把△ADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△A′D′C′,連接ED′,拋物線y=ax2+bx+n(a≠0)過E,A′兩點.
(1)填空:∠AOB= 45 °,用m表示點A′的坐標(biāo):A′( m , ﹣m );
(2)當(dāng)拋物線的頂點為A′,拋物線與線段AB交于點P,且 = 時,△D′OE與△ABC是否相似?說明理由;
(3)若E與原點O重合,拋物線與射線OA的另一個交點為點M,過M作MN⊥y軸,垂足為N:
、偾骯,b,m滿足的關(guān)系式;
、诋(dāng)m為定值,拋物線與四邊形ABCD有公共點,線段MN的最大值為10,請你探究a的取值范圍.
考點: 二次函數(shù)綜合題..
專題: 綜合題.
分析: (1)由B與C的坐標(biāo)求出OB與OC的長,根據(jù)OC﹣OB表示出BC的長,由題意AB=2BC,表示出AB,得到AB=OB,即三角形AOB為等腰直角三角形,即可求出所求角的度數(shù);由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:OD′=D′A′=m,即可確定出A′坐標(biāo);
(2)△D′OE∽△ABC,理由如下:根據(jù)題意表示出A與B的坐標(biāo),由 = ,表示出P坐標(biāo),由拋物線的頂點為A′,表示出拋物線解析式,把點E坐標(biāo)代入整理得到m與n的關(guān)系式,利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似即可得證;
(3)①當(dāng)E與原點重合時,把A與E坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c,整理即可得到a,b,m的關(guān)系式;
、趻佄锞與四邊形ABCD有公共點,可得出拋物線過點C時的開口最大,過點A時的開口最小,分兩種情況考慮:若拋物線過點C(3m,0),此時MN的最大值為10,求出此時a的值;若拋物線過點A(2m,2m),求出此時a的值,即可確定出拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍.
解答: 解:(1)∵B(2m,0),C(3m,0),
∴OB=2m,OC=3m,即BC=m,
∵AB=2BC,
∴AB=2m=0B,
∵∠ABO=90°,
∴△ABO為等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:OD′=D′A′=m,即A′(m,﹣m);
故答案為:45;m,﹣m;
(2)△D′OE∽△ABC,理由如下:
由已知得:A(2m,2m),B(2m,0),
∵ = ,
∴P(2m, m),
∵A′為拋物線的頂點,
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣m)2﹣m,
∵拋物線過點E(0,n),
∴n=a(0﹣m)2﹣m,即m=2n,
∴OE:OD′=BC:AB=1:2,
∵∠EOD′=∠ABC=90°,
∴△D′OE∽△ABC;
(3)①當(dāng)點E與點O重合時,E(0,0),
∵拋物線y=ax2+bx+c過點E,A,
∴ ,
整理得:am+b=﹣1,即b=﹣1﹣am;
、凇邟佄锞與四邊形ABCD有公共點,
∴拋物線過點C時的開口最大,過點A時的開口最小,
若拋物線過點C(3m,0),此時MN的最大值為10,
∴a(3m)2﹣(1+am)3m=0,
整理得:am= ,即拋物線解析式為y= x2﹣ x,
由A(2m,2m),可得直線OA解析式為y=x,
聯(lián)立拋物線與直線OA解析式得: ,
解得:x=5m,y=5m,即M(5m,5m),
令5m=10,即m=2,
當(dāng)m=2時,a= ;
若拋物線過點A(2m,2m),則a(2m)2﹣(1+am)2m=2m,
解得:am=2,
∵m=2,
∴a=1,
則拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍為 ≤a≤1.
點評: 此題屬于二次函數(shù)綜合題,涉及的知識有:坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),直線與拋物線的交點,以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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