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棗莊市中考數(shù)學試題解析(4)
(3)分別過點A、B作AE⊥x軸，BC⊥x軸，垂足分別是E、C點.直線AB交x軸于D點.
令﹣2x+8=0，得x=4，即D(4，0).
∵A(1，6)，B(3，2)，
∴AE=6，BC=2，
∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD= ×4×6﹣ ×4×2=8.
點評： 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：先由點的坐標求函數(shù)解析式，然后解由解析式組成的方程組求出交點的坐標，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.
23.(8分)(2015棗莊)如圖，ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB，CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O.
(1)求證：BO=DO;
(2)若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當FG=1時，求AD的長.
考點： 平行四邊形的性質;全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形..
分析： (1)通過證明△ODF與△OBE全等即可求得.
(2)由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因為EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG與△DFG都是等腰直角三角形，從而求得DG的長和EF=2，然后等腰直角三角形的性質即可求得.
解答： (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ODF=∠OBE，
在△ODF與△OBE中
∴△ODF≌△OBE(AAS)
∴BO=DO;
(2)解：∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=45°，
∴∠DBA=∠A=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠G=∠A=45°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴DF⊥OG，
∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，
∵△ODF≌△OBE(AAS)
∴OE=OF，
∴GF=OF=OE，
即2FG=EF，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DF=FG=1，∴DG= =DO，
∴在等腰RT△ADB 中，DB=2DO=2 =AD
∴AD=2 ，
點評： 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，平行線的性質以及平行線分行段定理.
24.(10分)(2015棗莊)如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE.
(1)判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由;
(2)求證：BC2=CD2OE;
(3)若cos∠BAD= ，BE=6，求OE的長.
考點： 切線的判定;相似三角形的判定與性質..
分析： (1)連接OD，BD，由AB為圓O的直徑，得到∠ADB為直角，可得出三角形BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，由直角三角形ABC中兩銳角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO與∠CDE互余，可得出∠ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為圓O的切線;
(2)證明OE是△ABC的中位線，則AC=2OE，然后證明△ABC∽△BDC，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可證得;
(3)在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的長，根據(jù)三角形中位線定理OE的長即可求得.
解答： (1)證明：連接OD，BD，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，
∴CE=DE=BE= BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠AD O+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，
∴DE為⊙O的切線;
(2)證明：∵E是BC的中點，O點是AB的中點，
∴OE是△ABC的中位線，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴ = ，即BC2=ACCD.
∴BC2=2CDOE;
(3)解：∵cos∠BAD= ，
∴sin∠BAC= = ，
又∵BE=6，E是BC的中點，即BC=12，
∴AC=15.
又∵AC=2OE，
∴OE= AC= .
點評： 本題考查了切線的判定，垂徑定理以及相似三角形的判定與性質等知識點.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可.
25.(10分)(2015棗莊)如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A( ， )和B(4，m)，點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在這樣的P點，使線段PC的長 有最大值?若存在，求出這個最大值;若不存在，請說明理由;
(3)求△PAC為直角三角形時點P的坐標.
考點： 二次函數(shù)綜合題..
專題： 幾何綜合題;壓軸題.
分析： (1)已知B(4，m)在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值.
(2)要弄清PC的長，實際是直線AB與拋物線函數(shù)值的 差.可設出P點橫坐標，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標，進而得到關于PC與P點橫坐標的函數(shù)關系式，根據(jù)函 數(shù)的性質即可求出PC的最大值.
(3)當△PAC為直角三角形時，根據(jù)直角頂點的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解.
解答： 解：(1)∵B(4，m)在直線y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B(4，6)，
∵A( ， )、B(4，6)在拋物線y=ax2+bx+6上，
∴ ，解得 ，
∴拋物線的解析式為y=2x2﹣8x+6.
(2)設動點P的坐標為(n，n+2)，則C點的坐標為(n，2n2﹣8n+6)，
∴PC=(n+2)﹣(2n2﹣8n+6)，
=﹣2n2+9n﹣4，
=﹣2(n﹣ )2+ ，
∵PC>0，
∴當n= 時，線段PC最大且為 .
(3)∵△PAC為直角三角形，
i)若點P為直角頂點，則∠APC=90°.
由題意易知，PC∥y軸，∠APC=45°，因此這種情形不存在;
ii)若點A為直角頂點，則∠PAC=90°.
如答圖3﹣1，過點A( ， )作AN⊥x軸于點N，則ON= ，AN= .
過點A作AM⊥直線AB，交x軸于點M，則由題意易知，△AMN為等腰直角三角形，
∴MN=AN= ，∴OM=ON+MN= + =3，
∴M(3，0).
設直線AM的解析式為：y=kx+b，
則： ，解得 ，
∴直線AM的解析式為：y=﹣x+3 ①
又拋物線的解析式為：y=2x2﹣8x+6 ②
聯(lián)立①②式，解得：x=3或x= (與點A重合，舍去)
∴C(3，0)，即點C、M點重合.
當x=3時，y=x+2=5，
∴P1(3，5);
iii)若點C為直角頂點，則∠ACP=90°.
∵y=2x2﹣8x+6=2(x﹣2)2﹣2，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2.
如答圖3﹣2，作點A( ， )關于對稱軸x=2的對稱點C，
則點C在拋物線上，且C( ， ).
當x= 時，y=x+2= .
∴P2( ， ).
∵點P1(3，5)、P2( ， )均在線段AB上，
∴綜上所述，△PAC為直角三角形時，點P的坐標為(3，5)或( ， ).
點評： 此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點坐標的求法等知識.
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