人教版高二數(shù)學異面直線所成角及距離

　　一. 教學內(nèi)容：

　　異面直線所成角及距離

　　二. 重點、難點：

　　1. 異面直線所成角定義。

　　異面直線 、 ，過空間一點O作 、 ，直線 ， 所成的銳角（或直角）叫做異面直線 和 所成的角。

　　2. 異面直線所成角的計算。

　　（1）平移其中一條或兩條使其相交。

　　（2）連接端點，使角在一個三角形中。

　�。�3）計算三條邊長，用余弦定理計算余弦值。

　�。�4）若余弦值為負，則取其相反數(shù)。

　　3. 公垂線。

　　與兩條異面直線均垂直、相交的直線叫兩條異面直線的公垂線，兩條異面直線的公垂線有且只有一條。

　　4. 兩條直線垂直。

　�。�1）相交垂直 （2）異面垂直

　　5.

　　6. 兩條異面直線的公垂線段的長度，叫兩條異面直線的距離。

　　【典型例題】

　　異面直線所成的角與距離：

　　[例1] 正方體 棱長為 ，對角線 長為 。

　�、� 異面直線 與 所成的角。

　�、� 異面直線 與 的距離。

　�、� 異面直線 與 所成的角。

　　④ 異面直線 與 所成的角。

　　⑤ M、N為 、 中點，MN與AC所成角。

　�、� H為BC中點， 與 所成角。

　　解：

　�、倥c 所成銳角即為兩條異面直線所成的角 。

　　② AB為兩條異面直線的公垂線距離為

　�、� 為等邊三角形成角為

　　④ 延長DC至E使CE=CD

　　中， ， ， 中，DE= ，AD=

　　AE ，由余弦定理

　�、� MN//BD所成角為

　�、� F為AD中點， ， 中， ，

　　，

　　所成角為

　　[例2] 四面體ABCD，棱長均為 （正四面體）

　�、� 求異面直線AD、BC的距離。

　�、� 求AC、BD所成的角。

　�、� E、F為BC、AD中點，求AE、CF所成角。

　　解：

　�、� E、F為BC、AD中點，連AE、DE、BF、CF

　　中， F為等腰 底邊中點EFAD

　　同上EFBCE、F為AD、BC公垂線

　�、� H為CD中點

　　EH//BD EH= FH//AC 為兩條異面直線AC、BD所成角

　�、� K為DE中點，連FK，F(xiàn)K//AE CF與FK所夾銳角為異面直線AE、CF所成角

　　[例3] 正方體 中，E、F為AB、 中點，求 、 所成的角。

　　證：H在 上， M為 中點

　　HF與 所成角等于異面直線 、 所成的角

　　設(shè)棱長為

　　中，、 所成角為

　　[例4] P為 所在平面外一點，E為PA中點，且 ， ， ， （ ）。求異面直線BE、PC的距離。

　　解：F為PC中點連EF

　　EF為PC、BE公垂線

　　BE、PC距離為

　　【模擬試題】（答題時間：60分鐘）

　　1. ， 、 與 、 均垂直，則 、 的關(guān)系為（ ）

　　A. 平行 B. 相交 C. 異面 D. 以上均可能

　　2. 已知異面直線 、 成 角，P為空間一點，則過P且與 、 所成角均為 的直線有（ ）

　　A. 2條 B. 3條 C. 4條 D. 無數(shù)條

　　3. 空間直線 滿足（1）與 異面；（2）與 成 角；（3）與 距離為10cm；則這樣的 有（ ）

　　A. 1條 B. 2條 C. 4條 D. 無數(shù)條

　　4. 、 為異面直線， 為 、 的公垂線， ， 與 、 的關(guān)系為（ ）

　　A. 均不相交 B. 與其中一條相交

　　C. 至少與一條相交 D. 至多與其中一條相交

　　5. 空間四邊形ABCD棱長為 ，對角線也為 ，E為AD中點，AB與CE所成角為（ ）

　　A. B. C. D.

　　【試題答案】

　　1. D 2. B 3. D 4. D 5. C

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