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談?wù)劰溅＇=ΔT／√1－V2／C2
Talk about Equation ΔT＇=ΔT／√1－V2／C2內(nèi)容提要：接觸過(guò)狹義相對(duì)論的人，一定知道這個(gè)公式ΔT＇=ΔT／√1－V2／C2。想必你對(duì)這個(gè)公式巧妙的數(shù)學(xué)推導(dǎo)也是充滿敬意的，我就有這樣的感覺(jué)。但隨著對(duì)狹義相對(duì)論理解的深入，我開(kāi)始懷疑這個(gè)公式。狹義相對(duì)論的立論基礎(chǔ)光速不變和同時(shí)性的相對(duì)性觀點(diǎn)是正確的，但是這個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程是值得商榷的。
首先讓我們回顧一下物理教科書(shū)中這一段的內(nèi)容。
假定一列以勻速V行駛的火車(chē)，在車(chē)廂側(cè)壁上裝有一個(gè)光源，（見(jiàn)圖一）。在車(chē)廂正對(duì)光源的另一側(cè)放置一面反射鏡，它的取向使得來(lái)自光源的光線垂直于火車(chē)的運(yùn)動(dòng)方向返回出發(fā)點(diǎn)。設(shè)車(chē)廂的寬度為L(zhǎng)，在火車(chē)上的觀察者將光源射向?qū)γ婢嚯x為L(zhǎng)的鏡面上，他測(cè)得光往返鏡面一次所需的時(shí)間間隔為ΔT。因總距離為2L，所以時(shí)間間隔為
ΔT=2L／C （1）
這是列車(chē)參考系中的情形。
在路基上的觀察者測(cè)得光往返一次的時(shí)間間隔為另一值ΔT＇在這個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，光源相對(duì)于路基移動(dòng)了一段距離V×ΔT＇，光往返一次所經(jīng)過(guò)的距離不是2L而是2L＇，這里
L＇=√L2+（V×ΔT＇／2）2
對(duì)車(chē)上和路基上的觀察者來(lái)說(shuō)，光速是相同的。因此對(duì)路基上的觀察者來(lái)說(shuō)有下面的關(guān)系式
ΔT＇=2L＇／C=［2×√L2+（VΔT／2）2］／C （2）
為了求出ΔT＇和ΔT的關(guān)系，關(guān)系式中不含L，我們由式（1）解出L，再把結(jié)果代入（2）式經(jīng)過(guò)整理就得到
ΔT＇=ΔT／√1－V2／C2
因?yàn)椤?－V2／C2＜1故ΔT＇＞ΔT。這表明，在光“往返”過(guò)程中，當(dāng)車(chē)上的時(shí)鐘走過(guò)一段時(shí)間ΔT時(shí)，路基上的鐘已經(jīng)走過(guò)了一段比ΔT長(zhǎng)的時(shí)間ΔT＇。用日常的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是車(chē)上的鐘比路基上的鐘慢。
L ΔT L＇
L
θ
0 ΔT＇
V ΔX
圖一 圖二
在當(dāng)今大多數(shù)介紹相對(duì)論的教科書(shū)中，基本上都是采用上述例子來(lái)定量地證明兩個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)參照系中時(shí)間關(guān)系的。我認(rèn)為在這個(gè)例子里，有兩個(gè)問(wèn)題是值得討論的。第一個(gè)問(wèn)題是：“從光源發(fā)出的光”這樣的描述是不精確的。我們知道光是由一系列離散的光子所組成的，所以研究光的運(yùn)動(dòng)規(guī)律實(shí)質(zhì)上就是研究每一個(gè)光子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這好比說(shuō)從槍管里連續(xù)發(fā)射的子彈，我們要確切地知道是哪發(fā)子彈命中靶心一樣。所以為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，我們可以將上面“從光源發(fā)出的光”改為從光源發(fā)出的一個(gè)光子，我們只考察這一個(gè)光子的情況。第二個(gè)問(wèn)題是：當(dāng)火車(chē)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，從光源發(fā)射的垂直于火車(chē)運(yùn)動(dòng)方向的這個(gè)光子能否被火車(chē)上的觀察者接收到，在路基上的觀察者是否真的能觀察到這個(gè)光子走了鋸齒形的路線呢？我個(gè)人認(rèn)為，不管是車(chē)上的觀察者還是路基上的觀察者都不可能觀察到例子中所描述的現(xiàn)象，所以例子中給出的這個(gè)前提條件本身就是錯(cuò)誤的。從邁克爾遜和莫雷的實(shí)驗(yàn)中，我們知道光速與光源的運(yùn)動(dòng)是無(wú)關(guān)的。所以當(dāng)垂直發(fā)射的光子離開(kāi)光源時(shí)，光子將仍然保持垂直于火車(chē)運(yùn)動(dòng)方向的運(yùn)動(dòng)，由于光子是垂直于鏡面發(fā)射的，所以當(dāng)光子遇鏡面返回時(shí)要按原路回到它出發(fā)的空間位置，這時(shí)候火車(chē)或光源已經(jīng)移動(dòng)到另一個(gè)地方了，隨火車(chē)運(yùn)動(dòng)的觀察者是不可能接收到從光源垂直發(fā)射出的光子的。那么在運(yùn)動(dòng)的火車(chē)上能否接收到從一個(gè)隨火車(chē)運(yùn)動(dòng)的光源發(fā)射的光子呢？答案是肯定的，如果從光源發(fā)射的光子與運(yùn)動(dòng)的火車(chē)存在一個(gè)小于900角度夾角的話，火車(chē)的速度與夾角之間的關(guān)系是：
V=C×cosθ
這里V是火車(chē)的速度，C是光速，θ為發(fā)射的光子運(yùn)動(dòng)方向與火車(chē)運(yùn)動(dòng)方向之間的夾角。在這個(gè)等式中，當(dāng)θ等于900時(shí)，cosθ等于零即要求火車(chē)的速度V等于零才能接收到光源發(fā)射的光子。當(dāng)θ等于00時(shí)，cosθ等于1即V要等于C才行。
如果光源只能發(fā)射垂直于運(yùn)動(dòng)方向的光子的話，那么隨火車(chē)運(yùn)動(dòng)方向上的觀察者永遠(yuǎn)也接收不到返回的光子，路基上的觀察者也不會(huì)看到鋸齒形的光線。之所以會(huì)發(fā)生這樣的錯(cuò)誤，原因是由于把從光源發(fā)出的（垂直和具有夾角）兩個(gè)光子的行為當(dāng)成是一個(gè)光子的行為所致。
談?wù)劰溅＇=ΔT／√1－V2／C2
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