壽險中的破產(chǎn)理論及應用

　　在我國保險公司的運作中，保費收入是主要收入來源，理陪是主要風險因素，為了保障保險公司的正常運作，保險公司必須充分考慮所面臨的風險，而破產(chǎn)理論的研究主要針對保險公司如何估計所面臨的風險，它主要研究在較長時間上保險公司發(fā)生盈余或破產(chǎn)的概率，以前我們所研究的破產(chǎn)理論主要是針對非壽險進行研究，并且主要考慮在理賠次數(shù)N(t)為泊松過程，理賠額S(t)為復合泊松過程情況下的盈余過程，在非壽險研究中得到一個Lundberg不等式，這個破產(chǎn)概率上界為保險公司的風險分析提供了有力工具。

　　本文利用（文獻[1]）風險理論，考慮在壽險中破產(chǎn)理論的研究，得到壽險破產(chǎn)模型，設計了求解壽險中的破產(chǎn)概率的一種算法，并得到壽險破產(chǎn)概率的一個上界。

　　  二、單一年齡結構下的破產(chǎn)模型

　　設壽險中，剛投保時（t=0時刻），年齡均為x的被保險人有n[,1]個，每個被保險人的死亡概率遵循相同的生命表，初始準備金為u[,1]，并且設

　　n[,k]：第k年年初時的被保險人數(shù)

　　c：被保險人每年所交的保險費

　　d[,k]：第k年內(nèi)(k,k+1)被保險人死亡的人數(shù)  (1)

　　q[,x]；被保險人在(x,x+1)死亡的人數(shù)的概率

　　b：每個被保險人死亡時，保險人要支付的保險金

　　由此假定我們知：

　　t=0時刻被保險人的總數(shù)n[,1],n[,k]=n[,k+1]+d[,k]。

　　定義1  對任意t＞0，設c＞0為單位時間內(nèi)的保費收入率，s(t)為到時刻t保險公司支付的理賠總額，u(0)=u為時刻0時的初始準備金，則  

u(t)=u+ct-s(t)　　(2)

　　稱為時刻t時的盈余

　　由(2)可見：這里的盈余并沒有考慮除了保費和理賠以外的影響盈余的因素，如附加費和保單持有人的分紅等，顯然，這種盈余并不是財務意義上的盈余，只是為了數(shù)學上處理方便而已…當盈余在某一時刻為負時，我們稱“破產(chǎn)”發(fā)生，既然此處盈余并不是財務意義上的盈余，則此時破產(chǎn)就不等價于保險公司真的破產(chǎn)，但破產(chǎn)是衡量保險公司金融風險的極其重要的尺度。我們僅定義時間不連續(xù)時的破產(chǎn)概率

　　定義2  稱Ψ[,t](u,n)=Pr｛u(t)＜0/｛u(τ)≥0，對某τ,τ=1,2,…t-1｝，為給定u,n時，第t年首次出現(xiàn)破產(chǎn)的概率。

　　設u[,k]表示第k年年初的準備金，且此時尚未收取第k年的保險費，v[,k]表示第k年年末的準備金，且此時尚未支付第k年年末的保險金，i是常數(shù)利率，則  

v[,k]=(u[,k]+n[,k]c)(1+i)　u[,k+1]=v[,k]-bd[,k]

　　定理1  壽險中，設初始準備金為u[,1],t=0時刻被保險人的總數(shù)n[,1]，且，c,q[,x],b滿足(1)的假設條件，則保險人在第t年末的破產(chǎn)概率

　　附圖

　　證明：被保險人在第一年末，可能發(fā)生死亡也可能不發(fā)生死亡，當死亡時，保險人由于支付保險金，可能導致破產(chǎn)發(fā)生，也可能不發(fā)生破產(chǎn)，我們考慮臨界狀態(tài)：即第1年年初所收保費與初始準備金之和等于第一年年末支付的保險金。bd[,1]=(u[,1]+n[,1]c)(1+i)，即

　　附圖

　　對給定的n[,1]，在第1年內(nèi)死亡人數(shù)的概率分布服從參數(shù)為(n[,1],q[,x])的二項分布，由此我們推得：

　　附圖

　　注：定理1給出求解破產(chǎn)概率的公式，實際上我們可以利用迭代法求解保險期內(nèi)任意年的破產(chǎn)概率。

　　實際上，壽險保險人數(shù)相當大，而且被保險人死亡的概率非常小，存活過保險期的人數(shù)也相當大。我們知道二項分布中當n[,1]充分大，q[,x]充分小時，由概率論中泊松定理知，泊松分布可更好逼近二項分布，記λ[,1]=n[,1]q[,x]，由泊松定理及定理1可得：

　　推論1  壽險中，設初始準備金為u[,1],t=0時刻被保險人的總數(shù)n[,1]，且c,d[,k],q[,x],b滿足(1)的假設條件，則保險人在第t年末的破產(chǎn)概率

　　附圖

　　  三、不同年齡結構下的破產(chǎn)模型

　　為便于研究，對壽險中的被保險人進行分組，不妨設，剛投保時（t=0時刻），年齡為x(j)的被保險人有n[,1]

[1] [2] 

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