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多問一個(gè)“為什么”-數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)忽視對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)哲學(xué)問題的探討
數(shù)學(xué)發(fā)端于古代人們計(jì)數(shù)與度量的實(shí)際需要�，F(xiàn)代的許多數(shù)學(xué)理論盡管具有非常抽象的形式，但它同時(shí)也是現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的深刻反映，因此可以廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和技術(shù)的各個(gè)部門，對(duì)人類認(rèn)識(shí)自然和改造自然，起著重要的作用。
在我國中小學(xué)的課程設(shè)置中，數(shù)學(xué)作為一門主課，被賦予大量的課時(shí)。在大學(xué)，不僅理工科的學(xué)生要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，許多文科專業(yè)也開設(shè)了高等數(shù)學(xué)。這是數(shù)學(xué)重要性的體現(xiàn)。然而，在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，過于注重按部就班地講述教科書上現(xiàn)有的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題，介紹各種計(jì)算題和證明題的解題方法，讓學(xué)生做大量的習(xí)題，卻忽視了與數(shù)學(xué)有關(guān)的一些根本性問題的說明和討論，特別是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)哲學(xué)問題。
前不久，中央電視臺(tái)10套的一檔節(jié)目中，嘉賓提出這樣一個(gè)問題：“有理數(shù)多還是無理數(shù)多？”有三個(gè)答案供在場(chǎng)的學(xué)生選擇：（A）有理數(shù)多，（B）無理數(shù)多，（C）一樣多。結(jié)果，絕大多數(shù)學(xué)生選擇了B，嘉賓表示了肯定。
這一問題看似淺顯，但要真正理解它提出的知識(shí)背景，并作較深入的闡述，并不那么容易，因?yàn)樗c某些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論賴以成立的基本前提有關(guān)，涉及了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)哲學(xué)研究中的一個(gè)重要問題——“無限觀”，即應(yīng)該如何看待數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的無限多的對(duì)象（如無限多的自然數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)）的問題。
在數(shù)學(xué)的研究中，有兩種“無限觀”。當(dāng)學(xué)生們作“無理數(shù)多”的解答時(shí)，是根據(jù)學(xué)過的集合論的有關(guān)知識(shí)來回答的。集合論是一百多年前德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的，這種理論建立在一種“無限觀”——“實(shí)無限”的基礎(chǔ)上。所謂“實(shí)無限”，即把“無限”作為一個(gè)已經(jīng)完成了的觀念實(shí)體來看待。在集合論中用N＝｛（n：n是自然數(shù)｝表示全體自然數(shù)的集合就是如此。
然而，集合論之前的幾千年的數(shù)學(xué)發(fā)展史中，數(shù)學(xué)研究中占主導(dǎo)地位的卻是古希臘哲學(xué)家亞里士多德所主張的另一種無限觀——“潛無限”的觀念，即把“無限”看作一個(gè)不斷發(fā)展著的、又永遠(yuǎn)無法完成的過程來看待。把自然數(shù)看成一個(gè)不斷延伸的無窮無盡的序列1，2，3，…，n，…，就是如此。如果采用“潛無限”的觀念，“有理數(shù)多，還是無理數(shù)多？”這一問題就沒有什么意義，因?yàn)橛欣頂?shù)和無理數(shù)都為數(shù)無窮，而“無限”是一個(gè)不斷發(fā)展著的、又永遠(yuǎn)無法完成的過程，不能加以比較。正如伽利略所說：“‘等于’、‘大于’和‘小于’諸性質(zhì)不能用于無限，而只能用于有限的數(shù)量�！�
還需要說明的是，盡管現(xiàn)在集合論已進(jìn)入中學(xué)和大學(xué)的數(shù)學(xué)教科書，成為全部經(jīng)典數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，但是它并非無懈可擊。人們已先后發(fā)現(xiàn)了一系列的“集合論悖論”，這說明集合論隱含著邏輯矛盾，使用集合論和采用“實(shí)無限”觀念來研究數(shù)學(xué)，可能會(huì)出問題。這也從一個(gè)側(cè)面說明了數(shù)學(xué)理論只具有相對(duì)的真理性。
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論如此，對(duì)數(shù)學(xué)方法同樣要多思考。初中學(xué)習(xí)平面幾何，學(xué)生就接觸了公理方法，這種常用的數(shù)學(xué)方法源于古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德的《幾何原本》，它具有嚴(yán)格、高度概括的特點(diǎn)。然而，為什么要選擇這些公理而不選另一些呢？公理方法有沒有什么限度呢？正是對(duì)《幾何原本》中公
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