小學(xué)六年級(jí)的數(shù)學(xué)教案
教材說明
這部分內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)理解了除法的意義與基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的意義與基本性質(zhì)，以及分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等知識(shí)，掌握了分?jǐn)?shù)乘、除法的計(jì)算方法，會(huì)解答分?jǐn)?shù)乘法實(shí)際問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。內(nèi)容包括比的意義和比的基本性質(zhì)。
這些內(nèi)容過去是安排在小學(xué)最后階段進(jìn)行教學(xué)。由于比與分?jǐn)?shù)有密切聯(lián)系，把比的最基礎(chǔ)知識(shí)提前安排在分?jǐn)?shù)除法單元中教學(xué)，既能加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，又可以為以后學(xué)習(xí)比例知識(shí)，以及其他方面的知識(shí)打下較好的基礎(chǔ)。
傳統(tǒng)的算術(shù)教材在講比的意義時(shí)，只強(qiáng)調(diào)比的一種情況，即兩個(gè)同類量的倍數(shù)關(guān)系。但在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常要用到比的另一種情況，即不同類量的比，所以現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，既講同類量的比，又講不同類量的比。這樣，小學(xué)生進(jìn)入中學(xué)后就便于理解物理等學(xué)科中經(jīng)常出現(xiàn)的不同類量的比。如路程和時(shí)間的比，質(zhì)量和體積的比等。當(dāng)然，不同類的量相比，有關(guān)聯(lián)的才行。這時(shí)，比的結(jié)果產(chǎn)生了新的量，例如，路程和時(shí)間的比就形成速度，質(zhì)量和體積的比就形成密度。
本節(jié)教材分成三段。
�。�1）教學(xué)比的意義。
教材選取我國(guó)第一艘載人飛船的有關(guān)內(nèi)容作為引入比的載體，通過這一富有時(shí)代性的情節(jié)內(nèi)容，引出同類量的比、非同類量的比。在此基礎(chǔ)上概括比的意義，介紹比的讀、寫及其各部分名稱，然后引導(dǎo)學(xué)生思考比與除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。
�。�2）教學(xué)比的基本性質(zhì)。
教材聯(lián)系比和除法、分?jǐn)?shù)關(guān)系，通過“想一想”啟發(fā)學(xué)生找出比中有什么樣的規(guī)律？然后概括比的基本性質(zhì)。接著，應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)，通過例1學(xué)習(xí)比的化簡(jiǎn)。例1有兩道題。第（1）題，化簡(jiǎn)整數(shù)比。常用的方法是前、后項(xiàng)同時(shí)除以它們的最大公約數(shù)。第（2）題，化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)、小數(shù)比。常用的方法是前、后項(xiàng)同時(shí)乘上分母的最小公倍數(shù)，或者把前、后項(xiàng)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)相同位數(shù)，把分?jǐn)?shù)比、小數(shù)比轉(zhuǎn)化為整數(shù)比再化簡(jiǎn)。此外，還有其他一些化簡(jiǎn)方法，由于化簡(jiǎn)的目的都是化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比，即前后項(xiàng)都是整數(shù)，公約數(shù)只有1。所以，轉(zhuǎn)化為整數(shù)比的方法，思路比較統(tǒng)一，也容易理解和掌握。
這里，教材安排了練習(xí)十一，主要練習(xí)怎樣根據(jù)要求寫出比，怎樣求比值，怎樣化簡(jiǎn)比。
�。�3）教學(xué)比的應(yīng)用。
在小學(xué)數(shù)學(xué)中，比的應(yīng)用主要有兩個(gè)內(nèi)容，即比例尺和按比例分配。由于比例尺與比例的聯(lián)系更多一些，且《標(biāo)準(zhǔn)》把比例尺歸入空間與圖形領(lǐng)域的圖形與位置這部分內(nèi)容中，因此留在后面教學(xué)，這里只教學(xué)怎樣解答按比例分配的實(shí)際問題。
所謂按比例分配就是把一個(gè)數(shù)量按照一定的比進(jìn)行分配。它是“平均分”問題的發(fā)展。例如，把12張畫片分給甲、乙兩個(gè)小朋友，如果按1∶1分，習(xí)慣上稱平均分。如果按2∶1分，就是通常所說的按比分配。顯然，平均分是按比分配的特例。按比例分配還有按正比例和反比例分配兩種，由于按反比例分配的實(shí)際應(yīng)用并不廣泛，而且可以轉(zhuǎn)化為按正比例分配來解答，因此教材只教學(xué)按正比例分配。
按比例分配問題有不同解法，主要有三種：一是把比看作分得的份數(shù)，用先求出每一份的方法來解答；二是把比化為分?jǐn)?shù)，用分?jǐn)?shù)乘法來解答；三是用比例知識(shí)來解答。較早的算術(shù)課本通常采用第三種方法，按比例分配的名稱由此而來�，F(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，一般以第二種方法為主，因?yàn)閷W(xué)生在理解了比和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，并掌握分?jǐn)?shù)乘法實(shí)際應(yīng)用的基礎(chǔ)上，比較容易接受這種方法，而且也有利于加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系�？紤]到學(xué)生尚未學(xué)習(xí)比例，且教材避開了比例方法，所以教學(xué)中不必出現(xiàn)“按比例分配”這一名稱。
教材通過例2，以清潔劑濃縮液的稀釋為例，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生把一個(gè)數(shù)量按照已知的比分成兩部分。進(jìn)而通過“做一做”的第2題，教學(xué)把一個(gè)數(shù)量按照已知的比分成三部分的問題。
教學(xué)建議
1. 聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。
在這部分內(nèi)容中，因?yàn)楸扰c除法、分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系，所以，比的很多基礎(chǔ)知識(shí)與除法、分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識(shí)，具有明顯的、可供利用的內(nèi)在聯(lián)系。比如，比的后項(xiàng)不能為0與除數(shù)分母不能為0，比的基本性質(zhì)與商不變性質(zhì)和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，求比值與求商，化簡(jiǎn)比與約分，按比例分配與求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少等等。因此，教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，應(yīng)當(dāng)充分利用原有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系相關(guān)的已學(xué)知識(shí)，進(jìn)行類比和推理，盡可能讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，通過自己的思考，推出新結(jié)論，解決新問題。
2. 讓學(xué)生感悟相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別，使新舊知識(shí)融會(huì)貫通。
在本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，新舊知識(shí)的聯(lián)系，不僅有利于生成新知識(shí)，也能加深對(duì)舊知識(shí)的理解，使新舊知識(shí)融會(huì)貫通。為此，教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)采用適當(dāng)?shù)姆绞�，讓學(xué)生看清并理解相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，知道它們的區(qū)別。同時(shí)也應(yīng)注意，揭示知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別，要考慮學(xué)生的理解水平，不宜求全、深究。因?yàn)樵谛W(xué)階段，很多知識(shí)不可能，也沒有必要講深講透。
具體內(nèi)容的說明和教學(xué)建議
1. 比的意義。
編寫意圖
（1）為了幫助學(xué)生理解比的意義，教材精心選擇了中國(guó)人民引以為豪的內(nèi)容作為載體，這一內(nèi)容既富有教育意義，又能比較自然地引出比的兩種應(yīng)用情況。教材先介紹飛船里的兩面長(zhǎng)方形小旗，給出真實(shí)數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生討論長(zhǎng)與寬的倍數(shù)關(guān)系，得到長(zhǎng)度相除的兩個(gè)算式，由此引出同類量的比。然后再介紹飛船的運(yùn)行路程與時(shí)間，讓學(xué)生用除法表示飛船進(jìn)入軌道后的速度，由此引出非同類量的比。進(jìn)而通過這兩種情況的實(shí)例，概括比的意義。接著以這幾個(gè)比為例，說明比的讀、寫及比的各部分名稱，并由比值計(jì)算的實(shí)例，引出“比值通常用分?jǐn)?shù)表示”，然后根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，具體說明比也可以寫成分?jǐn)?shù)形式。最后，由小精靈提出問題，啟發(fā)學(xué)生思考：“比的前項(xiàng)、后項(xiàng)和比值分別相當(dāng)于除法算式和分?jǐn)?shù)中的什么？比的后項(xiàng)可以是0嗎？”
（2）“做一做”，安排了兩道練習(xí)。一道是根據(jù)條件和要求寫出比并求比值的練習(xí)，用以鞏固比的概念；另一道是求未知的前項(xiàng)或后項(xiàng)的練習(xí)，旨在通過求比的未知項(xiàng)，從另一側(cè)面理解比與除法的關(guān)系。
教學(xué)建議
�。�1）教學(xué)比的意義前，可以先復(fù)習(xí)一些除法的應(yīng)用，如：
�、倌嘲嘟y(tǒng)計(jì)會(huì)騎車的人數(shù)，男生有18人，女生有12人。會(huì)騎自行車的男生人數(shù)是女生人數(shù)的多少倍？女生人數(shù)是男生人數(shù)的幾分之幾？
②路程÷時(shí)間＝（）
總價(jià)÷數(shù)量＝（）
教學(xué)比的意義時(shí)，可以先扼要介紹中國(guó)首次載人航天成功的大致情況，然后出示航天員楊利偉在“神舟五號(hào)”飛船里展示聯(lián)合國(guó)旗和我國(guó)國(guó)旗的照片，引出兩面旗，給出它們的長(zhǎng)和寬，讓學(xué)生用算式表示長(zhǎng)和寬的關(guān)系。
15÷10＝1.5，表示長(zhǎng)是寬的多少倍；
10÷15＝2/3，表示寬是長(zhǎng)的幾分之幾。
由此引出：長(zhǎng)和寬之間的倍數(shù)關(guān)系，除了用除法表示之外，還有一種表示方法，即說成“長(zhǎng)和寬的比是15比10；或?qū)捄烷L(zhǎng)的比是10比15”。教師還可以說明，不論長(zhǎng)和寬的比，還是寬和長(zhǎng)的比，都是兩個(gè)長(zhǎng)度的比，相比的兩個(gè)量是同類的量。
接著，出示“神舟五號(hào)”進(jìn)入運(yùn)行軌道后的運(yùn)行數(shù)據(jù)：平均90分鐘繞地球一周，大約運(yùn)行42252 km。讓學(xué)生用算式表示飛船的速度。由此引出：表示路程和時(shí)間的關(guān)系也還有一種形式，就是用路程和時(shí)間的比來表示,如“神舟五號(hào)”運(yùn)行路程和時(shí)間的比是42252比90。然后通過提問：路程和時(shí)間，是不是同類的量？使學(xué)生知道兩個(gè)不同類量的關(guān)系也可以用比表示。教師還可以指出，兩個(gè)同類量的比表示這兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系，兩個(gè)不同類量的比可以表示一個(gè)新的量。如“路程比時(shí)間”又表示速度。
進(jìn)一步就可以概括出比的意義，著重說明這些例子都是通過兩數(shù)相除來表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，它們都可以用比來表示，所以“兩個(gè)數(shù)相除又叫作兩個(gè)數(shù)的比”。
然后，可以讓學(xué)生看書自學(xué)。通過交流，搞清楚以下幾點(diǎn)：
①幾比幾怎樣寫、怎樣讀？（可以寫成比的形式，也可以寫成分?jǐn)?shù)形式，但仍讀作幾比幾）
�、诒鹊母鞑糠置Q是什么？
③怎樣求比值？
�、鼙戎悼梢栽鯓颖硎�？（通常用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示，能除盡時(shí)也可以用小數(shù)表示，能整除時(shí)就用整數(shù)表示）
�、荼群捅戎涤惺裁绰�(lián)系與區(qū)別？這個(gè)問題是個(gè)難點(diǎn)，可以組織學(xué)生討論。兩者的聯(lián)系在于，比值是比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，它通常用分?jǐn)?shù)表示，而比也可以寫成分?jǐn)?shù)。它們的區(qū)別主要是，比值是一個(gè)數(shù)，有時(shí)可以用小數(shù)甚至整數(shù)表示，而比表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，不能用一個(gè)小數(shù)或一個(gè)整數(shù)表示。
這個(gè)問題也可以讓學(xué)生舉例說明：什么情況下比和比值的表示形式完全相同，什么情況下它們的表示形式有區(qū)別？
前者如：8∶3＝8/3，8/3既可以看作比，又可以看作比值。
后者如：8∶4＝2，2是比值。
8∶4＝2/1，2/1是比。
接下去，再讓學(xué)生思考回答課本上小精靈提出的兩個(gè)問題。關(guān)于比和除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，教師可以將學(xué)生的回答整理成下表：
或者用字母表示三者之間的內(nèi)在關(guān)系，即
a∶b＝a÷b＝a/b（b≠0）
關(guān)于比和除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別，學(xué)生只要知道除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一種數(shù)，而比表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系就行了。
至于為什么比的后項(xiàng)不能是0，一般學(xué)生都能回答。事實(shí)上，在用字母表示比和除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系時(shí)，就能捎帶解決這個(gè)問題。
（2）“做一做”可以讓學(xué)生把答案填寫在書上。因?yàn)檫�沒有學(xué)比的基本性質(zhì)和化簡(jiǎn)比，所以第1題中練習(xí)本的本數(shù)之比寫成6∶8就可以了，這里不要求化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比，花的錢數(shù)之比也是如此。交流、校對(duì)答案之后，還可以讓學(xué)生說說，為什么兩人買練習(xí)本的本數(shù)之比和所花錢數(shù)之比，它們的比值相等。這是因?yàn)閱蝺r(jià)相同，買的本數(shù)越多，花的錢數(shù)也越多，所以本數(shù)的倍數(shù)關(guān)系與總價(jià)的倍數(shù)關(guān)系相同。
如果有學(xué)生寫出的比，前后項(xiàng)互換了位置，可以通過質(zhì)疑，使學(xué)生明白：交換了比的前、后項(xiàng)，比的具體含義就變了，由小敏是小亮的幾分之幾，變成了小亮是小敏的幾倍。（實(shí)際上得到了一個(gè)新的比，叫做原來的比的反比，這個(gè)概念不必教給學(xué)生。）
第2題則可以讓學(xué)生說說，未知的前項(xiàng)或后項(xiàng)是怎樣求的。
2. 比的基本性質(zhì)。
編寫意圖
（1）教材首先讓學(xué)生回憶商不變性質(zhì)和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，然后啟發(fā)學(xué)生思考：“在比中有什么樣的規(guī)律？”進(jìn)而按照將比與除法、分?jǐn)?shù)類比的思路，舉出例子，并先利用比和除法的關(guān)系對(duì)實(shí)例加以研究，再讓學(xué)生自己根據(jù)比和分?jǐn)?shù)的關(guān)系加以研究。在此基礎(chǔ)上，概括出比的基本性質(zhì)。
�。�2）作為比的基本性質(zhì)的直接運(yùn)用，例1教學(xué)怎樣根據(jù)比的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)比。例題由兩道題組成。第（1）題仍采用“神州五號(hào)”的題材，但討論的是兩面一大一小的聯(lián)合國(guó)旗。題目告訴兩面旗的長(zhǎng)和寬，要求這兩面旗長(zhǎng)和寬的最簡(jiǎn)單的整數(shù)比。其中15∶10的化簡(jiǎn)給出了完整的過程并啟發(fā)學(xué)生思考為什么這樣化簡(jiǎn)；180∶120的化簡(jiǎn)則留空讓學(xué)生自己完成。這里的兩個(gè)答案相同，實(shí)際上滲透了兩面旗按比例縮小的相似變換思想，同時(shí)也便于學(xué)生感悟化簡(jiǎn)的必要性，即能使數(shù)量關(guān)系更加簡(jiǎn)單明了。從中也可以看出，教材精心選取的這一內(nèi)容載體，既有思想性和趣味性，又有數(shù)學(xué)內(nèi)涵，而且數(shù)據(jù)真實(shí)，適合教學(xué)的需要。
第（2）題也有兩個(gè)比，比中分別出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)和小數(shù)。教材同樣提出了啟發(fā)思考化簡(jiǎn)過程的問題，并留有空白讓學(xué)生自己完成。
�。�3）第46頁(yè)上的“做一做”，安排了化簡(jiǎn)比的練習(xí)。其中有整數(shù)比、小數(shù)比、分?jǐn)?shù)比，還有一道小數(shù)和分?jǐn)?shù)組成的比。通過練習(xí)，使學(xué)生接觸到化簡(jiǎn)比的各種基本情況，以幫助學(xué)生初步掌握化簡(jiǎn)比的方法，并加深對(duì)比的基本性質(zhì)的理解。
教學(xué)建議
�。�1）教學(xué)時(shí)可以先讓學(xué)生回憶以前學(xué)過的商不變性質(zhì)和分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，并由學(xué)生自己舉例說明�；蛘咄ㄟ^填空題幫助學(xué)生再現(xiàn)這些知識(shí)。如：
然后提出課本中的問題：聯(lián)系比和除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系想一想，在比中有什么相應(yīng)的規(guī)律？可以先讓學(xué)生說出個(gè)人的猜想，再自己舉例驗(yàn)證，或者四人小組分工合作舉例驗(yàn)證。通過交流,使學(xué)生看到各種角度（除法與比，分?jǐn)?shù)與比）、各種方式（同乘，同除）的驗(yàn)證情況。
也可以先舉例試探，再總結(jié)規(guī)律。如果學(xué)生獨(dú)立試探有困難,教師可以先給出例子，并加以提示，如：
根據(jù)除法和比的關(guān)系來研究：
根據(jù)分?jǐn)?shù)和比的關(guān)系來研究：
再由學(xué)生自己補(bǔ)充舉例，然后總結(jié)、歸納。
還可以在復(fù)習(xí)后，給出“6∶8”和“3∶4”，讓學(xué)生判斷這兩個(gè)比的比值是否相等，并說明理由。再啟發(fā)學(xué)生依據(jù)除法中商不變的規(guī)律說明它們是相等的。
不論采用那種教學(xué)方法，總結(jié)、歸納規(guī)律時(shí)都應(yīng)強(qiáng)調(diào)，同時(shí)乘上或除以相同的數(shù)，必須“0除外”，并請(qǐng)學(xué)生說明理由。
�。�2）教學(xué)例1前，可以先做一些分?jǐn)?shù)除法與約分的口算練習(xí)。
出示例題時(shí)，教師可以簡(jiǎn)要說明課本插圖是我國(guó)首飛航天員楊利偉（左二）在聯(lián)合國(guó)總部向聯(lián)合國(guó)秘書長(zhǎng)安南（右）移交“神舟”五號(hào)所搭載的聯(lián)合國(guó)旗（大的那一面）的照片。
然后讓學(xué)生寫出一小一大兩面聯(lián)合國(guó)旗長(zhǎng)和寬的比，15∶10和180∶120。教師可以先設(shè)置一個(gè)懸念：這兩個(gè)比，數(shù)據(jù)大小懸殊，很難看出它們之間有什么關(guān)系，讓我們化簡(jiǎn)后再來看。再引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：這兩個(gè)比，是不是最簡(jiǎn)單的整數(shù)比？或者說什么是最簡(jiǎn)單的整數(shù)比？學(xué)生只要搞清了最簡(jiǎn)單整數(shù)比的要求（前、后項(xiàng)的公約數(shù)只有1），就容易想到化簡(jiǎn)的方法及其依據(jù)。在此基礎(chǔ)上，可以放手讓學(xué)生自己嘗試，有困難的可以看書，根據(jù)例題的提示完成填空。
然后進(jìn)行交流。通常，會(huì)有學(xué)生想到把比寫成分?jǐn)?shù)形式再約分。特別是新授前復(fù)習(xí)了約分的口算后，就更容易想到這種方法。可以讓學(xué)生比較各種化簡(jiǎn)過程�；蛘邔⒉煌姆椒ㄅc書上例題的化簡(jiǎn)過程加以比較，使學(xué)生明白，書上虛線框內(nèi)說明了化簡(jiǎn)的方法與過程，熟練以后可以不寫出來。因此，直接同除以前、后項(xiàng)的最大公約數(shù)比較簡(jiǎn)便，它與寫成分?jǐn)?shù)形式約分的方法，實(shí)際上是一致的。
這里，有必要提醒學(xué)生注意兩個(gè)比化簡(jiǎn)的結(jié)果，并讓學(xué)生說說結(jié)果相同，說明了什么？初步體會(huì)兩面旗大小不同，形狀相同，從中進(jìn)一步了解化簡(jiǎn)比的必要性。
（3）教學(xué)例1的第（2）題時(shí)，可以先讓學(xué)生比較第（2）題與第（1）題的區(qū)別，看清第（1）題的兩個(gè)比都是整數(shù)，第（2）題的兩個(gè)比里有分?jǐn)?shù)、小數(shù)。然后讓學(xué)生獨(dú)立探索，或者組織小組討論，再交流各自是怎樣化簡(jiǎn)的。也可以啟發(fā)學(xué)生明確化簡(jiǎn)的基本思路：先化成整數(shù)比，再化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比，然后再嘗試。
如果放手讓學(xué)生獨(dú)立探索，則可以在交流后再小結(jié)化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)比、小數(shù)比的思路和方法。可能會(huì)有學(xué)生想到不同的方法。比如，用分?jǐn)?shù)除法的方法計(jì)算：
對(duì)此，教師應(yīng)給予肯定。因?yàn)楸瓤梢詫懗煞謹(jǐn)?shù)形式，所以3/4就是3∶4。如果沒有學(xué)生想到這樣的方法，教師就不必介紹了。因?yàn)檫@種方法只適合化簡(jiǎn)兩個(gè)數(shù)組成的比，三個(gè)數(shù)組成的連比就不適用了。
�。�4）第46頁(yè)的“做一做”共6小題，可以在完成例1的教學(xué)之后進(jìn)行練習(xí)。也可以在完成例1的第（1）題后練習(xí)前兩小題，學(xué)完例1的第（2）題后練習(xí)后四小題。最后，在校對(duì)、交流的基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)化簡(jiǎn)比的方法進(jìn)行小結(jié)。
3. 關(guān)于練習(xí)十一中一些習(xí)題的說明和教學(xué)建議。
第1～3題是學(xué)習(xí)“比的意義”的練習(xí)題。
第1題創(chuàng)設(shè)了學(xué)校三個(gè)興趣小組比較人數(shù)的問題情境，讓學(xué)生按比較的要求寫出人數(shù)比。練習(xí)時(shí)，可以提醒學(xué)生看清楚條件，根據(jù)要求寫出比，前后項(xiàng)不能顛倒。
第2題，要求學(xué)生利用方格紙找出三面長(zhǎng)方形紅旗中哪面紅旗的長(zhǎng)寬之比是3∶2。可以讓學(xué)生看圖口答。
第3題是求比值的練習(xí)題。四小題的數(shù)據(jù)各異，有整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，也有小數(shù)與分?jǐn)?shù)混合，通過練習(xí)，既鞏固了比值的概念和求比值的方法，又練習(xí)了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的除法。
第4題共3小題，要求把各比化成后項(xiàng)是100的比。練習(xí)時(shí)，可以先觀察后項(xiàng)乘上或除以多少才是100，然后根據(jù)比的基本性質(zhì)把前項(xiàng)也乘上或除以這個(gè)數(shù)。其中前兩小題很容易觀察找出這個(gè)數(shù)，第（3）小題稍難些，如有學(xué)生感到困難，教師可提示，先去掉相同的單位“萬”，也就是同時(shí)除以10000，再觀察尋找。本題可要求學(xué)生書寫化簡(jiǎn)的過程，如：
275萬∶250萬=275∶250=（275÷2.5）∶（250÷2.5）=110: 100
第6題以比較身高為題材，通過對(duì)話形式引出質(zhì)疑，啟發(fā)學(xué)生思考：前后項(xiàng)是帶有不同單位的比，應(yīng)該怎樣化簡(jiǎn)。可要求學(xué)生寫出化簡(jiǎn)的過程：
150 cm∶1 m=150∶100=3∶2
第7*題供學(xué)有余力的學(xué)生選做。解答時(shí)可以這樣想：十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)之比是2∶3，說明它們相差“1份”，由第二個(gè)已知條件可知，這兩個(gè)數(shù)相差2。所以1份是2，2份是4，3份是6，這個(gè)兩位數(shù)是46。
最后一題是思考題，解法多樣。可以這樣想：重疊部分占大長(zhǎng)方形面積的1/6，說明大長(zhǎng)方形面積含6個(gè)重疊部分；同理，小長(zhǎng)方形面積含4個(gè)重疊部分，所以大、小長(zhǎng)方形面積的比是6∶4=3∶2。學(xué)生比較容易想到畫圖依靠直觀進(jìn)行比較，如右圖，教師可以肯定。
4. 比的應(yīng)用。
編寫意圖
�。�1）例2創(chuàng)設(shè)了一個(gè)日常生活中比較常見的稀釋清潔劑濃縮液的問題情境。教材首先通過一段文字說明稀釋瓶上用不同顏色條形標(biāo)明的比的含義，使學(xué)生了解按比配制的實(shí)際意義。然后通過三個(gè)人物的對(duì)話插圖，由阿姨說明稀釋的配制要求，并提出問題，再由兩個(gè)同學(xué)討論算法，引導(dǎo)學(xué)生思考。這樣的例題設(shè)計(jì)，較傳統(tǒng)形式的應(yīng)用題，更具可讀性與啟發(fā)性。例2介紹了兩種解法。一種是先求出每份是多少，再求幾份是多少。即轉(zhuǎn)化為整數(shù)的除法、乘法來解決。另一種是轉(zhuǎn)化為求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用分?jǐn)?shù)乘法來解決。例題的解答過程，作了一些留白處理。
�。�2）第49頁(yè)上的“做一做”，安排了兩道練習(xí)題。第1題與例2相仿，要求把303按51∶50分成兩部分。第2題略有變化，一是把70棵樹按要求分成三部分，二是要求“按3個(gè)班的人數(shù)分配”，已知的是三個(gè)班的人數(shù)，而不是三個(gè)班人數(shù)的比。由于情節(jié)內(nèi)容貼近學(xué)校生活，題意明顯，所以這些變化一般不會(huì)構(gòu)成練習(xí)時(shí)的困難。
教學(xué)建議
�。�1）教學(xué)例2前，可以先練習(xí)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的實(shí)際問題。如六（1）班40名學(xué)生參加大掃除，其中3/8的同學(xué)打掃教室，5/8的同學(xué)打掃操場(chǎng)。
�、俅驋呓淌�、操場(chǎng)的同學(xué)各有多少人？
②寫出打掃教室、操場(chǎng)的人數(shù)比。
練習(xí)后可作出小結(jié)：在實(shí)際生活中，有時(shí)并不是把一個(gè)數(shù)量平均分配的，而是按一定的比來進(jìn)行分配。由此引出課題“比的應(yīng)用”。
教學(xué)例2時(shí)，首先引導(dǎo)學(xué)生弄清題意�？梢宰寣W(xué)生說說自己是怎樣理解的，如什么是稀釋液，怎樣配制？通過同學(xué)或老師的補(bǔ)充，使大家明白家庭使用的清潔劑稀釋液是用濃縮液和水配制而成�，F(xiàn)在的要求是按濃縮液和水的體積之比1∶4配制500 ml的稀釋液。
在理解題意的基礎(chǔ)上，可以放手讓學(xué)生試著解決問題。然后看看課本是怎樣解決的。并把例題解答過程中留出的空白填補(bǔ)完整。
這里，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)得數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。完整的檢驗(yàn)包含兩個(gè)方面，一是把濃縮劑與水的體積相加，看是不是等于稀釋液的總量500 ml，二是把兩種液體的比化簡(jiǎn)，看是不是等于1∶4。
小結(jié)時(shí)，應(yīng)當(dāng)通過交流使學(xué)生明確：把一個(gè)總數(shù)按一定的比來分配，可以把各部分?jǐn)?shù)的比看作份數(shù)關(guān)系，先求出每一份；也可以把各部分?jǐn)?shù)的比轉(zhuǎn)化為總數(shù)的幾分之幾，直接求總數(shù)的幾分之幾是多少。前一種方法用整數(shù)除法、乘法解決問題，后一種方法用分?jǐn)?shù)乘法解決問題。
�。�2）完成第49頁(yè)上的“做一做”時(shí)，可以讓學(xué)生獨(dú)立思考解答，允許學(xué)生選用適合自己的解法。教師可以提醒學(xué)生對(duì)得數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，做完后交流各自的解法與檢驗(yàn)方式。
5. 關(guān)于練習(xí)十二中一些習(xí)題的說明和教學(xué)建議。
練習(xí)十二的第1～6題都是配合例2的練習(xí)題。
第1～4題是比較基本的問題，第5、6題則稍有變化和綜合。
第1題涉及空氣的成分。為了簡(jiǎn)化問題，題目只給出了空氣中氧氣和氮?dú)獾捏w積比。對(duì)此，如有學(xué)生提出疑問，如：空氣中還有一氧化碳等。教師可做解釋：空氣是混合物，它的成分很復(fù)雜，但由于自然界各種變化的相互補(bǔ)償，如植物的光合作用吸收二氧化碳，釋放出氧氣，使得空氣中比較固定的成分是氧氣和氮?dú)�，其他成分在這里就忽略不計(jì)了。
第2題的特點(diǎn)是用份數(shù)代替了比作為已知條件。
第3題則用每個(gè)橡皮艇上兩種人員的人數(shù)代替比。學(xué)生如用整數(shù)乘除法分步列式，要注意56÷8得到的是橡皮艇的個(gè)數(shù)，而不是人數(shù)。
第4題中出現(xiàn)了由3個(gè)數(shù)組成的比2∶3∶5，叫做連比（不必對(duì)學(xué)生講這個(gè)名詞），讀作2比3比5。練習(xí)時(shí)不必刻意去教、去講，讓學(xué)生讀一讀題目，說一說比中三個(gè)數(shù)的具體含義，學(xué)生就能自然而然地讀和理解了。
第5題綜合了長(zhǎng)方體的棱的知識(shí)。根據(jù)題意，120 cm是長(zhǎng)方體12條棱的總長(zhǎng)。為了求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，可以把12條棱平均分成4組，每組由相交于一個(gè)頂點(diǎn)的一條長(zhǎng)、一條寬和一條高組成。即120÷4 得到一組長(zhǎng)、寬、高的總和，再按比分。
第6題綜合了分?jǐn)?shù)乘法的問題，根據(jù)題意是800 m2菜地種了一些西紅柿，剩下的面積按2∶1分，所以要先求出剩下的面積，再按比分。
第7*題可讓學(xué)有余力的學(xué)生自己選做，試探解決。學(xué)生可能有多種解法。
如：假設(shè)甲數(shù)是20，則根據(jù)甲、乙兩數(shù)的比2∶3推算出乙數(shù)是30，再根據(jù)乙、丙兩數(shù)的比4∶5，推算出丙數(shù)是30÷4×5=37.5，然后寫出甲、丙兩數(shù)的比是20∶37.5=200∶375=8∶15。
又如：注意到前一個(gè)比中乙數(shù)是3，后一個(gè)比中乙數(shù)是4，3和4的最小公倍數(shù)是12。因此把前一個(gè)比改寫成2∶3=8∶12，把后一個(gè)比改寫成4∶5=12∶15。同樣可得甲、丙兩數(shù)的比是8∶15。教師可讓個(gè)別想到這種解法的學(xué)生說說其中的算理。淺顯地說，把乙數(shù)看作12份，作為標(biāo)準(zhǔn)，則甲數(shù)相當(dāng)于這樣的8份，丙數(shù)相當(dāng)于這樣的15份，這時(shí)的12份、8份、15份，每一份都是相等的。
第51頁(yè)上的“你知道嗎？”介紹了“黃金比”的小知識(shí)，可讓學(xué)生自己閱讀。感興趣的學(xué)生還可以課外自己去收集有關(guān)的資料，與同學(xué)交流共享。
整理和復(fù)習(xí)
�。ǖ�52～54頁(yè)）
這部分內(nèi)容是對(duì)分?jǐn)?shù)除法這一單元所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行系統(tǒng)整理和復(fù)習(xí)。通過整理和復(fù)習(xí)，把前面分散學(xué)習(xí)的知識(shí)加以梳理，整出頭緒，加以歸納，提出要點(diǎn)。因此，整理和復(fù)習(xí)的過程也是一個(gè)加深理解和鞏固所學(xué)知識(shí)，提高知識(shí)運(yùn)用能力的過程。
教材通過四個(gè)精心設(shè)計(jì)的問題，把本單元的主要內(nèi)容歸納為概念、計(jì)算和應(yīng)用三方面。第1題復(fù)習(xí)概念，包括分?jǐn)?shù)除法的意義和比的意義，第2題復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算，第3題復(fù)習(xí)比的有關(guān)知識(shí)，第4題復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)除法和比的應(yīng)用。這四個(gè)問題，簡(jiǎn)明扼要，重點(diǎn)突出，而且非常清晰地溝通了有關(guān)內(nèi)容間的聯(lián)系。如一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾與兩個(gè)數(shù)的比（第1題），分?jǐn)?shù)的應(yīng)用問題與比的應(yīng)用問題（第4題）。這就為復(fù)習(xí)課教學(xué)提供了一個(gè)層次分明的整理思路和復(fù)習(xí)素材。
具體內(nèi)容的說明和教學(xué)建議。
1. 復(fù)習(xí)概念。
第1題,復(fù)習(xí)本單元學(xué)習(xí)的主要概念�？梢韵茸寣W(xué)生說一說分?jǐn)?shù)除法的意義和比的意義，再完成第1題的填空。然后由學(xué)生說說四個(gè)算式的含義，教師可以加以板書：
使學(xué)生更清晰地感悟乘法與除法，分?jǐn)?shù)與比之間的內(nèi)在聯(lián)系。
2. 復(fù)習(xí)計(jì)算。
第2題,復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算�？梢韵扔蓪W(xué)生說一說分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，使學(xué)生明確，整數(shù)可以看成分母是1的分?jǐn)?shù)，所以不管被除數(shù)、除數(shù)是整數(shù)（0除外）還是分?jǐn)?shù)，都可以把除轉(zhuǎn)化為乘，即除以一個(gè)數(shù)（0除外），等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。然后讓學(xué)生完成第2題的三道計(jì)算，再說一說根據(jù)以往的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算時(shí)還要注意什么。如除轉(zhuǎn)化為乘以后再約分，能約分的盡量約分，等等。當(dāng)然也可以先完成計(jì)算，再來總結(jié)。
第3題,復(fù)習(xí)比的化簡(jiǎn)。可以先讓學(xué)生說出比和除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)比的依據(jù)，然后化簡(jiǎn)第3題的三個(gè)比。這里可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)常用的化簡(jiǎn)方法加以總結(jié)。
還可以讓學(xué)生舉例說明，求比值與化簡(jiǎn)比的區(qū)別。求比值用除法，結(jié)果是一個(gè)數(shù)；化簡(jiǎn)比根據(jù)比的基本性質(zhì)，結(jié)果是一個(gè)比，可以寫成分?jǐn)?shù)，但不能寫成小數(shù)或整數(shù)。例如：
18÷3=6/1或18∶3= 6∶1，寫成18∶3=6，就不是化簡(jiǎn)比，而是求比值了。
3. 復(fù)習(xí)應(yīng)用。
第4題復(fù)習(xí)運(yùn)用分?jǐn)?shù)除法與比解決實(shí)際問題�？梢韵茸寣W(xué)生根據(jù)第（1）題用兩條線段表示鴨、鵝的只數(shù)：
再列出三題的方程或算式，然后說出它們的數(shù)量關(guān)系加以比較：
�。�1）鴨的只數(shù)×2/5 =鵝的只數(shù)
�。�2）鴨的只數(shù)－鵝比鴨少的只數(shù)=鵝的只數(shù)
（3）鴨與鵝的總只數(shù)×5/7=鴨的只數(shù)
鴨與鵝的總只數(shù)×2/7=鵝的只數(shù)
使學(xué)生看清這三題都反映了鴨、鵝只數(shù)5∶2的關(guān)系，區(qū)別只是5∶2的表示方式有所不同，已知數(shù)與未知數(shù)有所交換。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用上面的數(shù)據(jù)編出其他的分?jǐn)?shù)乘、除法問題。如：
�、�?gòu)埓鬆旔B(yǎng)了500只鴨，200只鵝。
a. 鴨的只數(shù)是鵝的多少倍?
b. 鵝的只數(shù)是鴨的幾分之幾?
c. 寫出鴨與鵝的只數(shù)比。
d．寫出鴨與總只數(shù)的比。
e. 寫出鵝與總只數(shù)的比。
�、趶埓鬆旔B(yǎng)了500只鴨，鵝的只數(shù)是鴨的2/5，養(yǎng)了多少只鵝？
�、蹚埓鬆旔B(yǎng)了500只鴨，鵝的只數(shù)比鴨少3/5，養(yǎng)了多少只鵝？
�、軓埓鬆旔B(yǎng)了200只鵝，鴨的只數(shù)是鵝的5/2，養(yǎng)了多少只鴨？
�、輳埓鬆旔B(yǎng)了200只鵝，鴨的只數(shù)比鵝多3/2，養(yǎng)了多少只鴨？
�、迯埓鬆旔B(yǎng)了500只鴨，鴨的只數(shù)是鵝的5/2，養(yǎng)了多少只鵝？
�、邚埓鬆旔B(yǎng)了500只鴨，鴨的只數(shù)比鵝多3/2，養(yǎng)了多少只鵝？
實(shí)際復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)適當(dāng)控制編題數(shù)量，不要求全，否則基礎(chǔ)較差的學(xué)生會(huì)適得其反。部分同學(xué)有興趣，可以課后繼續(xù)改編。
4. 關(guān)于練習(xí)十三中一些習(xí)題的說明和教學(xué)建議。
第1 題，要求學(xué)生運(yùn)用本單元的一些基本概念作出判斷。練習(xí)后，應(yīng)讓學(xué)生說出判斷的理由。如：
第（1）題可以舉出相反的例子來說明結(jié)論是錯(cuò)的。
第（2）題已知a÷b＝1/3，那么b÷a＝3a，所以是對(duì)的。
第（3）題3∶5是a與b的份數(shù)關(guān)系，每一份不一定是1，所以是錯(cuò)的。
第（4）題可以這樣思考，走同樣的路程，用的時(shí)間越短，速度越快，而不是相反，所以是錯(cuò)的。
事實(shí)上，從學(xué)校走到電影院，小明用了8分鐘，每分鐘走全程的18；小紅用了10分鐘，每分鐘走全程的1/10，小明和小紅的速度比是1/8∶1/10=5∶4 。這一速度比的正確答案，不是一般要求，可供學(xué)有余力的學(xué)生選做。
第2題,可以先計(jì)算出得數(shù)再連線，也可以通過觀察直接連線。
第3題,應(yīng)讓學(xué)生選擇適合自己的方法計(jì)算，然后通過交流了解其他算法。其中乘除和連除運(yùn)算，可以統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為乘法，再一起約分。兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和（差）與一個(gè)數(shù)相乘，可以用分配律計(jì)算。如：
第4題，可以把冰的體積看作單位“1”，設(shè)為x dm3，列方程得(10/11)x＝30。也可以把分?jǐn)?shù)看成比，即水與冰的體積比是10∶11，已知10份是30 dm3，求11份，算式是30÷10×11。
第5題，同第4題類似。
第 6題，是分?jǐn)?shù)乘除法的綜合應(yīng)用問題�？梢苑植搅惺剑部闪谐鲆粋�(gè)方程。如：設(shè)貓每分鐘跳x次，依題意得方程16x=500×(2/25)。
第7題，是有關(guān)比的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合練習(xí)。第（1）題綜合了比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，以及它們的基本性質(zhì)。第（2）題綜合了求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍（或幾分之幾），以及兩個(gè)數(shù)的比。第（3）題綜合了質(zhì)量單位的改寫與比的化簡(jiǎn)。
練習(xí)后，應(yīng)酌情作出針對(duì)性的分析講評(píng)。
第8題，是把24小時(shí)按5∶3分，其中24小時(shí)是一個(gè)隱蔽條件。
第9題，要求學(xué)生寫出3個(gè)噸數(shù)的比并化簡(jiǎn)�；�(jiǎn)時(shí)，可以把每個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)15，答案是10∶4∶1。
第10題，要求學(xué)生根據(jù)題目提供的信息，尋找合適的量寫出比。如：我和爸爸歲數(shù)的比；爸爸和媽媽年工資的比；爸爸和媽媽月工資的比。這里交換前后項(xiàng)也是可以的，只要寫清楚是什么和什么的比。小精靈提出的問題可作為課外作業(yè)，讓學(xué)生自己去搜集信息。教師可從學(xué)生的作業(yè)中選擇一些有意義、有價(jià)值的比在全班交流，共享信息
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