一元二次方程的解法

教學目標 

1．  初步掌握用直接開平方法解一元二次方程，會用直接開平方法解形如 的方程；

2．  初步掌握用配方法解一元二次方程，會用配方法解數字系數的一元二次方程；

3．  掌握一元二次方程的求根公式的推導，能夠運用求根公式解一元二次方程；

4．  會用因式分解法解某些一元二次方程。

5．  通過對一元二次方程解法的教學，使學生進一步理解“降次”的數學方法，進一步獲得對事物可以轉化的認識。

教學重點和難點

重點：一元二次方程的四種解法。

難點：選擇恰當的方法解一元二次方程。

教學建議：

一、教材分析：

1．知識結構：一元二次方程的解法

2．重點、難點分析

（1）熟練掌握開平方法解一元二次方程

用開平方法解一元二次方程，一種是直接開平方法，另一種是配方法。

如果一元二次方程的一邊是未知數的平方或含有未知數的一次式的平方，另一邊是一個非負數，或完全平方式，如方程 ， 和方程 就可以直接開平方法求解，在開平方時注意取正、負兩個平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，轉化為 的形式來求解。配方時要注意把二次項系數化為1和方程兩邊都加上一次項系數一半的平方這兩個關鍵步驟。

（2）熟記求根公式 （ ）和公式中字母的意義在使用求根公式時要注意以下三點：

1）把方程化為一般形式，并做到 、 、 之間沒有公因數，且二次項系數為正整數，這樣代入公式計算較為簡便。

2）把一元二次方程的各項系數 、 、 代入公式時，注意它們的符號。

3）當 時，才能求出方程的兩根。

（3）抓住方程特點，選用因式分解法解一元二次方程

如果一個一元二次方程的一邊是零，另一邊易于分解成兩個一次因式時，就可以用因式分解法求解。這時只要使每個一次因式等于零，分別解兩個一元一次方程，得到兩個根就是一元二次方程的解。

我們共學習了四種解一元二次方程的方法：直接開平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程時，要認真觀察方程的特征，選用適當的方法求解。

二、教法建議

1． 教學方法建議采用啟發(fā)引導，講練結合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質．

2. 注意培養(yǎng)應用意識．教學中應不失時機地使學生認識到數學源于實踐并反作用于實踐．

教學設計示例

教學目標 

1. 使學生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0， b≠0， c≠0)可以轉化為適合于直接開平方法的形式(x+m)2=n;

2. 在理解的基礎上，牢牢記住配方的關鍵是“添加的常數項等于一次項系數一半的平方”；

3. 在數學思想方法方面，使學生體會“轉化”的思想和掌握配方法。

教學重點和難點

重點：掌握用配方法解一元二次方程。

難點：湊配成完全平方的方法與技巧。

教學過程 設計

一 復習

1.完全的一元二次方程的一般形式是什么樣的?(注意a≠0)

2.不完全一元二次方程的哪幾種形式?

(答：只有三種ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))

3.對于前兩種不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我們已經學會了它們的解法。

特別是結合換元法，我們還會解形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程。

例  解方程：(x-3) 2=4  (讓學生說出過程)。

解：方程兩邊開方，得  x-3=±2，移項，得  x=3±2。

所以  x1=5,x2=1.      (并代回原方程檢驗，是不是根)

4.其實(x-3) 2=4是一個完全的一元二次方程，我們把原方程展開、整理為一元二次方程。(把這個展開過程寫在黑板上)

(x-3) 2=4,     ①

x2-6x+9=4,   ②

x2-6x+5=0.    ③

二 新課

1.逆向思維

我們把上述由方程①→方程②→方程③的變形逆轉過來，可以發(fā)現(xiàn)，對于一個完全的一元二次方程，不妨試試把它轉化為(x+m) 2=n的形式。這個轉化的關鍵是在方程左端構造出一個未知數的一次式的完全平方式(x+m) 2。

2.通過觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問：在x2+2x上添加一個什么數，能成為一個完全平方(x+?)2。   (添一項+1)

 即   (x2+2x+1)=(x+1) 2.

練習，填空：

x2+4x+( )=(x+  ) 2;     y2+6y+(  )=(y+  ) 2.

算理  x2+4x=2x·2?，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3?，所以添3的平方。

總結規(guī)律：對于x2+px,再添上一次項系數一半的平方，就能配出一個含未知數的一個次式的完全平方式。即 .+ ( ) ④

     (讓學生對④式的右邊展開，體會括號內第一項與第二項乘積的2倍，恰是左邊的一次

項，括號內第二項的平方，恰是配方時所添的常數項)

  項固練習(填空配方)

 

     總之，左邊的常數項是一次項系數一半的平方。

     問：如果左邊的一次項系數是負數，那么右邊括號里第二項的正負號怎么取?算理是什么?

    鞏固練習(填空配方)

     x2-bx+(  )=(x-  ) 2;            x2-(m+n)x+(  )=(x-  ) 2.

一元二次方程的解法

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