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數(shù)學(xué)教案－立方根
一、教學(xué)目標(biāo)
1.了解立方根和開立方的概念；
2.會用根號表示一個數(shù)的立方根，掌握開立方運算；
3.培養(yǎng)學(xué)生用類比的思想求立方根的運算能力；
4.由立方與立方根的教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想；
5.通過立方根符號的引入體驗數(shù)學(xué)的簡潔美.
二、教學(xué)重點和難點
教學(xué)重點：立方根的概念與性質(zhì)．
教學(xué)難點 ：會求某些數(shù)的立方根．
三、教學(xué)方法
啟發(fā)式，講練結(jié)合
四、教學(xué)手段
幻燈片．
五、教學(xué)過程
(一)復(fù)習(xí)提問
請同學(xué)們回憶一下，平方根我們是如何定義的？平方根有哪些性質(zhì)？
在同學(xué)們回答后，啟發(fā)學(xué)生是否可試著給數(shù)的立方根下個定義．
1．立方根的概念：
如果一個數(shù)的立方等于a，這個數(shù)就叫做a的立方根．(也稱數(shù)a的三次方根)
用數(shù)學(xué)式表示為：
若x3=a，則x叫做a的立方根，或稱x叫做a的三次方根．
2．立方根的表示方法：
類似于平方根德表示方法，數(shù)a的立方根我們用符號 來表示.讀作“三次根號下a”，其中a叫做被開方數(shù)，3叫做根指數(shù)，注意，在前面我們學(xué)習(xí)平方根的表示方法說過當(dāng)根指數(shù)為2時可以省略不寫，現(xiàn)在是立方根了，這個根指數(shù)3是絕對不可省的，否則就會與平方根混淆了，例如 表示125的立方根，而 則表示125的算術(shù)平方根.
練習(xí)：用根號表示下列各數(shù)的立方根：
3．開立方概念：
求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方．
4．開立方運算與立方運算互為逆運算．
因此，我們可以根據(jù)立方運算來求一些數(shù)的立方根．
例1． 求下列各數(shù)的立方根：
解：(1)∵(-2)3=-8，
(2)∵23=8，
(4)∵ (0.6)3=0.216，
(5)∵03=0，
下面我們思考這樣一個問題：一個正數(shù)有幾個平方根？負(fù)數(shù)有沒有平方根？一個正數(shù)有幾個立方根？負(fù)數(shù)有沒有立方根？請學(xué)生來回答這個問題．由前面剛剛做過的題我們不難看出像8、0.126、103、 這樣的正數(shù)，有一個正的立方根；像-8、 、 這樣的負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；0的立方根是0．由此我們得了立方根的性質(zhì)．
5．立方根的性質(zhì)：
(1)正數(shù)有一個正的立方根．
(2)負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根．
(3)0的立方根是0．
這里我們不妨與平方根的性質(zhì)做個比較，平方根中，正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，正數(shù)只有一個正的立方根；在平方根中負(fù)數(shù)是沒有平方根的，而負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；平方根與立方根唯一相同之處是0的平方根，立方根都是它本身．
例2．求下列各式的值：
解：(1)∵33=27，
(2)∵ (-3)3=-27，
(5)∵ (102)3=106，
(6)∵ (103)3=109，
例3． 解方程：
(1)x3=0.125；(2)3(x-4)3-1536=0．
解：(1)x3=0.125
x=0.5．
(2)3(x-4)3-1536=0(此題可由學(xué)生先做，教師糾正錯誤)
3(x-4)3=1536
(x-4)3=512
x-4=8
x=12．
盡管我們學(xué)習(xí)了立方根，而我們也只能由立方根的定義求解x3=a(a為常數(shù))這一類型的
簡單的三次方程，所以像第(2)小題，我們要把(x-4)看成一個整體，依然轉(zhuǎn)化成為x3=a的形式，再由立方根定義去解．
填空練習(xí)：
(1)1的平方根是____；立方根為____；算術(shù)平方根為____．
(2)平方根是它本身的數(shù)是____．
(3)立方根是其本身的數(shù)是____．
(4)算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是________．
(5) 的立方根為________.
(6) 的平方根為________.
(7) 的立方根為________ .
(8)一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是a，那么與這個自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)的平方根是____________；立方根是____________．
解：(1)±1；1；1．
(2)0．(此題學(xué)生容易把1也算進(jìn)去，注意糾正他們的錯誤．)
(3)±1和0．(由此題，再復(fù)習(xí)一道立方根的性質(zhì)．)
(4)0，1．(此題有學(xué)生可能會忘掉0．)
(5)-2（此題學(xué)生易得出-4的答案，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將 翻譯為-8，在求立方根，也有學(xué)生將 看成 得到 ，講解時注意）
(6) （此題首先讓學(xué)生把 計算出來，再求平方根，而且平方根有兩個）
(7)-2．
(8) ， （此題引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)算術(shù)平方根來表示被開方數(shù)為a2，再表示相鄰的下一個自然數(shù)為a2+1，注意表示其平方根時有兩個值．）
六、總結(jié)
今天我們主要學(xué)習(xí)了立方根的概念和性質(zhì)，一定要與平方根的概念和性質(zhì)相對比去理解．平方根與立方根是今后我們學(xué)習(xí)中經(jīng)常會用到的兩個非常重要的概念，希望同學(xué)們能夠熟練地掌握它，尤其是它們之間的聯(lián)系與區(qū)別．
七、作業(yè)
教材P．141練習(xí)1、2、4．
八、板書設(shè)計
探究活動
立方根近似值的求法
當(dāng)立方根是一位整數(shù)時，很容易求出這個立方根；但當(dāng)立方根是兩位或兩位以上的整數(shù)時，也能容易地求出嗎？例如求140608的立方根，怎樣求容易？
下面就介紹它的巧妙求法．
先用前三位數(shù)140來確定立方根的十位數(shù)．因為53＜140＜63，所以十位數(shù)是5，而不是6．再用最后一位數(shù)8來確定立方根的個位數(shù)．因為23＝8，所以個位數(shù)是2．就是說，140608的立方根是52．確定立方根的個位數(shù)時要注意下面規(guī)律：我們知道：13＝1，43＝64，53＝125，63＝216，93＝729，就是說當(dāng)被開方數(shù)的末位數(shù)是1、4、5、6、9時，立方根的個位數(shù)就等于它本身(1、4、5、6、9)；
因為23＝8，83＝512，就是說當(dāng)被開方數(shù)的末位數(shù)是8和2時，立方根的個位數(shù)就分別是2和8，叫做2與8互換原則；同樣還有3與7互換原則(被開方數(shù)的末位數(shù)分別是3和7，立方根的個位數(shù)就分別是7和3)．
一般地，如果103＜a＜1003，且a是能開盡立方的數(shù)，那么就能用這種方法求a的立方根．請用這種方法求下列各數(shù)的立方根：
21952，50653，79507，287496，970299．
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