定理與證明(二)

時(shí)間：2023-05-02 02:16:20 初中數(shù)學(xué)教案我要投稿

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定理與證明(二)

一、教學(xué)目標(biāo)

定理與證明(二)

1．了解“證明”的必要性和推理過(guò)程中要步步有據(jù)．

2．了解綜合法證明的格式和步驟．

3．通過(guò)一些簡(jiǎn)單命題的證明，初步訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力．

4．通過(guò)證明步驟中由命題畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知、求證的過(guò)程，繼續(xù)訓(xùn)練學(xué)生由幾何語(yǔ)句正確畫(huà)出幾何圖形的能力．

5．通過(guò)舉例判定一個(gè)命題是假命題，使學(xué)生學(xué)會(huì)反面思考問(wèn)題的方法．

二、學(xué)法引導(dǎo)

1．教師教法：嘗試指導(dǎo)，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)與討論相結(jié)合．

2．學(xué)生學(xué)法：在教師的指導(dǎo)下，積極思維，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)．

三、重點(diǎn)·難點(diǎn)及解決辦法

（－）重點(diǎn)

證明的步驟和格式是本節(jié)重點(diǎn)．

（二）難點(diǎn)

理解命題，分清其題設(shè)和結(jié)論，正確對(duì)照命題畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知、求證．

（三）解決辦法

通過(guò)學(xué)生分組討論，教師歸納得出證明的步驟和格式，再以練習(xí)加以鞏固，解決重點(diǎn)、難點(diǎn)及疑點(diǎn)．

四、課時(shí)安排

l課時(shí)

五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀、三角板、自制膠片．

六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

1．通過(guò)引例創(chuàng)設(shè)情境，點(diǎn)題，引入新課．

2．通過(guò)情境教學(xué)，學(xué)生分組討論，歸納總結(jié)及練習(xí)鞏固等手段完成新授．

3．通過(guò)提問(wèn)的形式完成小結(jié)．

七、教學(xué)步驟

（－）明確目標(biāo)

使學(xué)生嚴(yán)密推理過(guò)程，掌握推理格式，提高推理能力。

（二）整體感知

以情境設(shè)計(jì)，引出課題，引導(dǎo)討論，例題示范講解新知，以練習(xí)鞏固新知．

（三）教學(xué)過(guò)程

創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了定理與證明，了解了這兩個(gè)概念．并以證明“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”來(lái)說(shuō)明什么是證明．我們?cè)倏催@一命題的證明（投影出示）．

例1 已知：如圖1，，是截線，求證：．

證明：∵ （已知），∴ （兩直線平行，同位角相等）．

∵ （對(duì)項(xiàng)角相等），∴ （等量代換）．

這節(jié)課我們分析這一命題的證明過(guò)程，學(xué)習(xí)命題證明的步驟和格式．

［板書(shū)］2.9 定理與證明

探究新知

1．命題證明步驟

學(xué)生活動(dòng)：由學(xué)生分組討論以上命題的證明過(guò)程，按自己的理解說(shuō)出證明一個(gè)命題都需要哪幾步．

【教法說(shuō)明】根據(jù)上一節(jié)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”這一命題的證明過(guò)程讓學(xué)生討論、分析、歸納命題證明的一般步驟，一是可以加深對(duì)命題證明的理解，二是培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力。在總結(jié)步驟時(shí)，學(xué)生所說(shuō)的層次不一定有邏輯性，或不太嚴(yán)密，教師要注意引導(dǎo)，使學(xué)生分清命題證明幾個(gè)步驟的先后層次．

根據(jù)學(xué)生討論，回答結(jié)果．教師歸納小結(jié)，師生共同得出證明命題的步驟（出示投影）：

第一步，畫(huà)出命題的圖形．

先根據(jù)命題的題設(shè)即已知條件，畫(huà)出圖形，再把命題的結(jié)論即求證的內(nèi)容在圖上標(biāo)出．還要根據(jù)證明的需要，在圖上標(biāo)出必要的字母或符號(hào)，以便于敘述或推理過(guò)程的表達(dá)．

第二步，結(jié)合圖形寫(xiě)出已知、求證．

把命題的題設(shè)化為幾何符號(hào)的語(yǔ)言寫(xiě)在已知中，命題的結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何符號(hào)的語(yǔ)言寫(xiě)在求證中．

第三步，經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推得求證的途徑，寫(xiě)出推理的過(guò)程．

學(xué)生活動(dòng)：結(jié)合“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”這一命題的證明，理解以上命題證明的一般步驟（給學(xué)生一定時(shí)間理解記憶）．

【教法說(shuō)明】在以上第二個(gè)步驟中，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言是教學(xué)中的難點(diǎn)，要注意在練習(xí)中加強(qiáng)輔導(dǎo)，第三步由學(xué)生獨(dú)立完成有困難，要逐步培養(yǎng)訓(xùn)練，現(xiàn)階段暫不要求學(xué)生獨(dú)立完成．

反饋練習(xí)：（1）畫(huà)出證明命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”時(shí)的圖形，寫(xiě)出已知、求證．

（2）課本第112頁(yè)A組第5題．

【教法說(shuō)明】由學(xué)生依照例1“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”這一命題的證明畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知、求證，鞏固命題證明的第一、二步．

2．命題的證明

例2 證明：鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直．

【教法說(shuō)明】此例題完全放手讓學(xué)生獨(dú)立完成有一定困難，但教師也不能包辦代替，最好通過(guò)讓學(xué)生分步討論，同桌互相磋商，分步完成的方法，使學(xué)生對(duì)命題證明的每一步都進(jìn)一步理解，教師可以給學(xué)生指明思考步驟．

（1）分析命題的題設(shè)與結(jié)論，畫(huà)出命題證明所需要的圖形．

鄰補(bǔ)角用圖2表示：

圖2

添畫(huà)鄰補(bǔ)角的平分線，見(jiàn)圖3：

圖3

（2）根據(jù)命題的題設(shè)與結(jié)論寫(xiě)出已知、求證．鄰補(bǔ)角用幾何符號(hào)語(yǔ)言提示：，角平分線用幾何符號(hào)語(yǔ)言表示：，，求證鄰補(bǔ)角平分錢(qián)互相垂直，用符號(hào)語(yǔ)言表示：．

（3）分析由已知誰(shuí)出求證途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程．

有什么結(jié)論后可得（），由已知可以推導(dǎo) 嗎？學(xué)生討論思考．

【教法說(shuō)明】以上步驟的完成教師只提供思路，具體結(jié)論的得出與操作要由學(xué)生獨(dú)立完成．找一個(gè)學(xué)生到黑板上板演，其他同學(xué)在練習(xí)本上寫(xiě)出完成整過(guò)程．

已知：如圖，，，．

求證：

證明：∵ （已知），又∵ ，（已知），∴ ．

∴ （垂直定義）．

證明完成后提醒學(xué)生注意以下幾點(diǎn)：

①要證明的是一個(gè)簡(jiǎn)單敘述的命題，題設(shè)和結(jié)論不明顯，可以先根據(jù)題意畫(huà)出圖形．如例2，結(jié)合圖形分析命題的題設(shè)和結(jié)論．

②在寫(xiě)已知、求證的內(nèi)容時(shí)，要將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示，轉(zhuǎn)化時(shí)的寫(xiě)法也不是惟一的，要根據(jù)使用的方便來(lái)寫(xiě)，如：與互為鄰補(bǔ)角，在已知中寫(xiě)為，角平分線有幾種表示方法，如是的平分線，，，根據(jù)此題寫(xiě)成較好，方便于下面的推理計(jì)算．

③對(duì)命題的分析、畫(huà)圖，如何推理的思考過(guò)程，證明時(shí)不必寫(xiě)出來(lái)，不屬于證明內(nèi)容．

反饋練習(xí)：按證明命題的步驟證明：“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么內(nèi)錯(cuò)角相等．”

【教法說(shuō)明】由學(xué)生獨(dú)立完成，找學(xué)生板演，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題教師及時(shí)糾正．

3．判定一個(gè)命題是假命題的方法

師：以上我們的推理是說(shuō)明一個(gè)命題是真命題的判定方法．那么如何判定一個(gè)命題是假命題呢？如“相等的角是對(duì)項(xiàng)角”，同學(xué)們都知道這是一個(gè)假命題，如何說(shuō)明它是一個(gè)假命題呢？誰(shuí)能試著說(shuō)明一下？

【教法說(shuō)明】教師先不告訴學(xué)生判定一個(gè)命題是假命題的方法，而是由很明顯的“相等角是對(duì)頂角”這一假命題，讓學(xué)生自己嘗試著去說(shuō)明，體驗(yàn)從反面去說(shuō)明一個(gè)問(wèn)題的方法，然后教師歸納小結(jié)．

根據(jù)學(xué)生說(shuō)明，教師小結(jié)：

判定一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)反例即可，也就是說(shuō)你所舉命題符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論．如“同位角相等”可如圖，與是同位角但不相等就說(shuō)明“同位角相等是假命題”．

反饋練習(xí)：課本第111頁(yè)習(xí)題2.3A組第4題．

【教法說(shuō)明】在做以上練習(xí)時(shí)一定讓學(xué)生學(xué)會(huì)從反面思考問(wèn)題的方法，再就是要澄清一些錯(cuò)誤的概念．

反饋練習(xí)

投影出示以下練習(xí)：

1．指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論

（1）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

（2）兩個(gè)角的和等于直角，這兩個(gè)角互為余角．

（3）對(duì)項(xiàng)角相等．

（4）同角或等角的余角相等．

2．畫(huà)圖，寫(xiě)出已知，求證（不證明）

（1）同垂直于一條直線的兩條直線平行．

（2）兩條平行直線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行．

3．抄寫(xiě)下題并填空

已知：如圖，．

求證：．

證明：∵ （），

∴ （）．

【教法說(shuō)明】以上練習(xí)讓學(xué)生獨(dú)立完成，第1題主要是訓(xùn)練學(xué)生分清命題的題設(shè)和結(jié)論；第2題是訓(xùn)練學(xué)生把命題轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言、幾何圖形的能力；第3題是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)命題證明的三個(gè)步驟．

總結(jié)、擴(kuò)展

以提問(wèn)的形式歸納出本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu)：

八、布置作業(yè)

（－）必做題

課本第110頁(yè)習(xí)題2.3A組第3（2）、（3）、（4）題．

（二）思考題

課本第112頁(yè)B組第l、2題．

作業(yè) 答案

A組（略）

B組1．已知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）（同角的補(bǔ)角相等）．

2．已知：如圖，，、分別平分與．求證：．