三元一次方程組的解法舉例

教學建議

一、重點、難點分析

本節(jié)教學的重點是掌握三元一次方程組的解法，教學難點 是解法的靈活運用．能夠熟練的解三元一次方程組是進一步學習一次方程組的應(yīng)用，以及一次不等式組的解法的基礎(chǔ)．

1．方程組有三個未知數(shù)，每個方程的未知項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，這樣的方程組就是三元一次方程組．

2．三元一次方程組的解法仍是用代入法或加減法消元，即通過消元將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程．

3．如何消元，首先要認真觀察方程組中各方程系數(shù)的特點，然后選擇最好的解法．

4．有些特殊方程組，可用特殊的消元方法，有時一下子可消去兩個未知數(shù)，直接求出一個未知數(shù)值來．

5．解一次方程組的消元“轉(zhuǎn)化”基本思想，可以推廣到“四元”、“五元”等多元方程組，這是今后要學習的內(nèi)容．

二、知識結(jié)構(gòu)

 

三、教法建議

1. 解三元一次方程組時，由于方程較多，學生容易出錯．因此，應(yīng)提醒學生注意，在消去一個未知數(shù)得出比原方程組少一個未知數(shù)的二元一次方程組的過程中，原方程組的每一個方程一般都至少要用到一次．

2. 消元時，先要考慮好消去哪一個未知數(shù)．開始練習時，可以先把要消去的未知數(shù)寫出來（如教科書在分析中所寫的那樣），然后再進行消元．

在例2中，如果先確定消去 ，那么這三個方程兩兩分組的方法有3種；①與②，①與③，②與③．我們可以從中任選2種消去 ．這里特別要注意選定2種后，必須消去同一個未知數(shù)．如果違背了這一點，所得的兩個新方程雖然各含兩個未知數(shù)，但由它們組成的方程組仍然含有三個未知數(shù)，這在實際上沒有消元．

 

教學設(shè)計示例

一、素質(zhì)教育目標

（一）知識教學點

1．知道什么是三元一次方程．

2．會解某個方程只有兩元的簡單的三元一次方程組．

3．掌握解三元一次方程組過程中化三元為二元或一元的思路．

（二）能力訓練點

1．培養(yǎng)學生分析能力，能根據(jù)題目的特點，確定消元方法、消元對象．

2．培養(yǎng)學生的計算能力、訓練解題技巧．

（三）德育滲透點

滲透“消元”的思想，設(shè)法把未知數(shù)轉(zhuǎn)化為已知．

（四）美育滲透點

通過本節(jié)課的學習，滲透方程恒等變形的數(shù)學美，以及方程組解的奇異美．

二、學法引導

1．教學方法：觀察法、討論法、練習法．

2．學生學法：三元一次方程組比二元一次方程組要復雜些，有些題的解法技巧性較強，因此在解題前必須認真觀察方程組中各個方程的系數(shù)特點，選擇好先消去的“元”，這是決定解題過程繁簡的關(guān)鍵．一般來說應(yīng)先消去系數(shù)最簡單的未知數(shù)．

三、重點·難點·疑點及解決辦法

（一）重點

使學生會解簡單的三元一次方程組，經(jīng)過本課教學進一步熟悉解方程組時“消元”的基本思想和靈活運用代入法、加減法等重要方法．

（二）難點

針對方程組的特點，選擇最好的解法．

（三）疑點

如何進行消元．

（四）解決辦法

加強理解二元及三元一次方程組的解題思想是“消元”，故在求解中為便于計算應(yīng)選擇系數(shù)較簡單的未知數(shù)將它消去．

四、課時安排

一課時．

五、教具學具準備

投影儀、自制膠片．

六、師生互動活動設(shè)計

1．教師先復習解二元一次方程組的解題思想及辦法，讓學生充分理解方程組的消元思想及方法．

2．教師由引例引出三元一次方程組，由學生思考、討論后解決如何消三元變二元，教師講解、小結(jié)．

3．由學生嘗試，解決例題．

4．學生練習，教師小結(jié)、講評．

七、教學步驟 

（一）明確目標

本節(jié)課將學習如何求三元一次方程組的解．

（二）整體感知

通過復習二元一次方程組的解題思想，從而類推出三元一次方程組的解題思想及解題方法，讓學生牢牢抓住利用消元的思想化三元為二元，再化二元為一元的辦法來求解．

（三）教學過程 

1．復習導入  、探索新知

（1）解二元一次方程組的基本方法有哪幾種？（2）解二元一次方程組的基本思想是什么？

甲、乙、丙三數(shù)的和是26，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的兩倍與丙數(shù)的和比乙數(shù)大18，求這三個數(shù)．

題目中有幾個未知數(shù)？含有幾個相等關(guān)系?你能根據(jù)題意列出幾個方程？

學生活動：回答問題、設(shè)未知數(shù)、列方程．

這個問題必須三個條件都滿足，因此，我們把三個方程合在一起，寫成下面的形式：

這個方程組有三個未知數(shù)，每個方程的未知數(shù)的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組，就是我們要學的三元一次方程組．

怎樣解這個三元一次方程組呢？你能不能設(shè)法消云一個或兩個未知數(shù)，把它化成二元一次方程組或一元一次方程？

學生活動：思考、討論后說出消元方案．

教師對學生的回答給予肯定或否定，糾正后說出消元方案：依照代入法，由較簡單的方程②，可得 ④，進一步將④分別代入①和③中，就可消去 ，得到只含 、 的二元一次方程組．

解：由②，得 ④

把④代入①，得 ⑤

把④代入③，得 ⑥

⑤與⑥組成方程組

解這個方程組得

把 代入④，得

∴

∴

注意：a．得二元一次方程組后，解二元一次方程的過程在練習本上完成．

b．得 ， 后，求 ，要代入前面最簡單的方程④．

c．檢驗．

這道題也可以用加減法解，②中不含 ，那么可以考慮將①與③結(jié)合消去，與②組成二元一次方程組．

學生活動：在練習本上用加減法解方程組．

【教法說明】通過一題多解，不僅能開闊學生的思維，培養(yǎng)學生的興趣，而且，可以鞏固解方程組時通過“消元”把未知轉(zhuǎn)化為已知的基本思想．

2．學生嘗試解決例題

例1  解方程組

學生活動：獨立分析、思考，嘗試解題，有的學生可能用代入法解，有的學生可能用加減法解，選一個用加減法解的學生板演，然后，讓用代入法的學生比較哪種方法簡單．

解：②×3＋③，得  ④

①與④組成方程組

解這個方程組，得

把 ， 代入②，得

∴

∴

歸納：這個方程組的特點是方程①不含 ，而②、③中 的系數(shù)絕對值成整數(shù)倍關(guān)系，顯然用加減法從②、③中消去 后，再與①組成只含 、 的二元一次方程組的解法最為合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②、③較繁．

【教法說明】有了前例的基礎(chǔ)，讓學生獨立嘗試解題，可以培養(yǎng)他們分析問題、解決問題的能力；在解題后歸納題目的特點為，點明消元方法和消元對象，更有助于學生探索方法、掌握技巧．

3．嘗試反饋，鞏固知識

練習：P30 （1）．

學生活動：獨立完成練習后，同桌、前后桌之間按不同解法的同學交換，看哪種方法最簡單．

4．變式訓練要，培養(yǎng)能力

補例：解方程組

學生活動：獨立完成．

【教法說明】此方程組中方程①、③中 、 的系數(shù)完全相同，用③－①可直接得到 ，再把 代入②可求 ，代入①可求 ．這道題直接化三元為一元，能使學生體會到解法技巧的重要性，覺得數(shù)學問題真是奧妙無窮!

（四）總結(jié)、擴展

1．解三元一次方程組的基本思想是什么？方法有哪些？

2．解題前要認真觀察各方程的系數(shù)特點，選擇最好的解法，當方程組中某個方程只含二元時，一般的，這個方程中缺哪個元，就利用另兩個方程用加減法消哪個元；如果這個二元方程系數(shù)較簡單，也可以用代入法求解．

3．注意檢驗．

【教法說明】這樣總結(jié)，既突出了本課重點，又突出了本節(jié)內(nèi)容中例題、習題的特點—某個方程只含兩元，使學生在以后解題時有很強的針對性．

八、布置作業(yè) 

（一）必做題：P31 A組1．

（二）選做題：解方程組

（三）思考題：課本第32頁“想一想”．

【教法說明】作業(yè) （一）是為了鞏固本節(jié)所學知識；作業(yè) （二）有很強的技巧性，可培養(yǎng)學生興趣；作業(yè) （三）培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力．

三元一次方程組的解法舉例

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