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《等差數(shù)列前n項和的公式》教案
作為一名教師，時常需要用到教案，借助教案可以恰當(dāng)?shù)剡x擇和運用教學(xué)方法，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。教案應(yīng)該怎么寫才好呢？以下是小編為大家收集的《等差數(shù)列前n項和的公式》教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
教學(xué)目標(biāo)
A、知識目標(biāo)：
掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法；掌握公式的運用。
B、能力目標(biāo)：
（1）在探索和發(fā)現(xiàn)公式的過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力，并促進知識的生成與發(fā)展。
�。�2）通過巧妙的思維策略，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)觀察、嘗試、分析和類比等實踐活動，從特殊情況逐步推導(dǎo)出一般規(guī)律，以培養(yǎng)他們的類比思維能力。這樣的過程能幫助學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的求和公式，并更好地理解其背后的數(shù)學(xué)原理。
（3）通過多角度、多側(cè)面的分析公式，可以培養(yǎng)學(xué)生靈活思維，并提升他們分析和解決問題的能力。
C、情感目標(biāo)：（數(shù)學(xué)文化價值）
�。�1）公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶。
�。�2）通過公式的運用，樹立學(xué)生"大眾教學(xué)"的思想意識。
�。�3）通過引入生動的、具體的現(xiàn)實問題，探索數(shù)學(xué)史中那些引人入勝的故事，激發(fā)學(xué)生對于探究數(shù)學(xué)的興趣和渴望，培養(yǎng)他們追求真理的勇氣和自信心，鞏固學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的積極心理經(jīng)驗，培養(yǎng)他們對數(shù)學(xué)的熱愛情感。
教學(xué)重點：等差數(shù)列前n項和的公式。
教學(xué)難點：等差數(shù)列前n項和的公式的靈活運用。
教學(xué)方法：啟發(fā)、討論、引導(dǎo)式。
教具：現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。
教學(xué)過程
一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課。
師：經(jīng)過幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)了解了等差數(shù)列的定義、通項公式以及相關(guān)性質(zhì)。今天我們將進一步研究等差數(shù)列的前n項和公式。提到數(shù)列求和，就會自然想到德國著名數(shù)學(xué)家高斯的“神速求和”故事。當(dāng)時小高斯上小學(xué)四年級，一次老師布置了一個數(shù)學(xué)習(xí)題：“將1到100的自然數(shù)相加，結(jié)果是多少？”只有10歲的小高斯稍作思考就得出了答案5050，這讓老師非常吃驚。那么高斯是如何巧妙計算出來的呢？如果你們能理解他那種巧妙的計算方法，那么你們就是二十一世紀(jì)的新高斯。（老師觀察學(xué)生表情后，將問題縮小為十分之一）�，F(xiàn)在我們來看一個例題。
例1，計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
這道題除了累加計算以外，還有沒有其他有趣的解法呢？小組討論后，讓學(xué)生自行發(fā)言解答。
生1:因為1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可湊成5個11，得到55。
生2：可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根據(jù)加法交換律，又可寫成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。
上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
10個
所以我們得到S=55，即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
師：高斯神速計算出1到100所有自然數(shù)的各的方法，和上述兩位同學(xué)的方法相類似。
理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50個101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請同學(xué)們想一下，上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個性質(zhì)呢？
生3：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.
二、教授新課（嘗試推導(dǎo)）
師：已知等差數(shù)列的第一項為a1，項數(shù)為n，最后一項為an。根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，我們可以推導(dǎo)出它的前n項和Sn的計算公式。首先，我們知道等差數(shù)列的通項公式為：an = a1 + (n-1)d其中，d為等差數(shù)列的公差。接下來，我們將等差數(shù)列的所有項按照相反的順序排列，并將原數(shù)列與反向數(shù)列相加，得到一個新的等差數(shù)列，每一項都是a1+an。例如，對于等差數(shù)列a1, a2, a3, ..., an，與之對應(yīng)的反向數(shù)列為an, an-1, ..., a1。將兩個數(shù)列按位相加，得到新的等差數(shù)列2a1+d, 2a2+d, 2a3+d, ..., 2an+d。將兩個數(shù)列的每一項分別相加，得到：(2a1+d) + (2a2+d) + (2a3+d) + ... + (2an+d) = 2(a1+a2+a3+...+an) + nd由于等差數(shù)列的前n項和Sn表示為a1+a2+a3+...+an，所以我們可以將上述等式改寫為：(2a1+d) + (2a2+d) + (2a3+d) + ... + (2an+d) = 2Sn + nd進一步整理得：2Sn + nd = n(2a1 + (n-1)d)化簡可得：Sn = n/2 * (a1+an)因此，等差數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為Sn = n/2 * (a1+an)。感謝同學(xué)們的參與，現(xiàn)在請一位同學(xué)來板演推導(dǎo)過程。
生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫成
Sn=an+an-1+......a2+a1
兩式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n個
=n(a1+an)
所以Sn=(I)
師：好！如果已知等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，項數(shù)為n，則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na1+ d(II)
上面（I）、（II）這兩個式子可以被稱為等差數(shù)列的前n項和公式。公式（I）是基本的，我們可以觀察到它與梯形面積公式（上底下底）×高÷2相似。在這里，等差數(shù)列中的首項a1代表了梯形的上底，第n項an代表了梯形的下底，而項數(shù)n則代表了梯形的高。通過這種類比，我們可以引導(dǎo)學(xué)生進行總結(jié)：這些公式中涉及了幾個量？（a1，d，n，an，Sn），它們之間有哪些關(guān)系？［an=a1(n-1)d，Sn=na1d］；另外，這些量中有幾個是可以自由變化的？（三個）從而可以得知：只要我們知道其中任意三個量，就可以求解出其他兩個量。接下來，我們將舉一些例子來說明公式（I）和（II）的一些應(yīng)用。請您謝謝！
三、公式的應(yīng)用（通過實例演練，形成技能）。
1、直接代公式（讓學(xué)生迅速熟悉公式，即用基本量觀點認(rèn)識公式）例2、計算：
（1）1+2+3+......+n
�。�2）1+3+5+......+(2n-1)
�。�3）2+4+6+......+2n
�。�4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n
請同學(xué)們先完成（1）-（3），并請一位同學(xué)回答。
生5：直接利用等差數(shù)列求和公式（I），得
�。�1）1+2+3+......+n=
�。�2）1+3+5+......+(2n-1)=
�。�3）2+4+6+......+2n==n(n+1)
師：第（4）小題數(shù)列共有n項。該數(shù)列是否為等差數(shù)列需要根據(jù)給出的信息進行判斷，而在題目中并沒有給出具體的數(shù)列項或規(guī)律，所以無法確定它是否為等差數(shù)列。不能直接運用Sn公式求解，因為Sn公式是用來求解等差數(shù)列前n項和的公式，需要知道數(shù)列的首項、末項和項數(shù)才能使用該公式計算。如果無法確定數(shù)列是否為等差數(shù)列，可以嘗試找出數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)題目給出的條件計算出具體的數(shù)列項。如果無法找到通項公式，可以逐項計算數(shù)列的項。
生6：（4）中的數(shù)列共有2n項，不是等差數(shù)列，但把正項和負項分開，可看成兩個等差數(shù)列，所以
原式=［1+3+5+......+(2n-1)］-(2+4+6+......+2n)
=n2-n(n+1)=-n
生7：上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個規(guī)律，兩項結(jié)合都為-1，故可得另一解法：
原式=-1-1-......-1=-n
n個
師：非常好！在解題時我們應(yīng)該仔細觀察，并尋找規(guī)律，通常能夠找到更好的方法。此外，在運用Sn公式時需要注意確切地確定等差數(shù)列的項數(shù)，否則很可能會得出錯誤的答案。
例3、（1）數(shù)列{an}是公差d=-2的等差數(shù)列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。
生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4
又∵d=-2，∴a1=6
∴S12=12 a1+66×（-2）=-60
生9：（2）由a1+a2+a3=12，a1+d=4
a8+a9+a10=75，a1+8d=25
解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+=145
師：通過以上示例題，我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的前n項和公式。該公式中包含了5個變量。當(dāng)已知其中三個變量時，我們可以利用構(gòu)建方程或方程組的方法來求解另外兩個未知變量（即已知三求二）。請同學(xué)們根據(jù)第三個例題自行編寫類似的練習(xí)題，作為本課外練習(xí)的內(nèi)容。在下節(jié)課時，我們將進行交流和討論。
師：（繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，將第（2）小題改編）
�、贁�(shù)列{an}等差數(shù)列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n
②是否一定非得求得a1，d呢？引導(dǎo)學(xué)生運用等差數(shù)列性質(zhì)，用整體思想考慮求S10的值。
2、用整體觀點認(rèn)識Sn公式。
例4，在等差數(shù)列{an}， （1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求S11。（教師啟發(fā)學(xué)生解）
師：來看第（1）小題，寫出的計算公式S16==8(a1+a6)與已知相比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？
生10：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。
師：是的！這個問題需要應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)來解決。根據(jù)已知的等式，我們無法直接求出a1，a16和d的值。但是我們可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來計算出a1與an（第16項）的和。這種思路充分展示了解決數(shù)學(xué)問題時的整體思維能力。
師：由于時間有限，我們將對等差數(shù)列前n項和公式Sn進行深入分析，并引導(dǎo)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)當(dāng)d≠0時，Sn可以表示為n的二次函數(shù)。然后，我們會從二次（或一次）函數(shù)的角度來解釋Sn公式的意義，指引同學(xué)們在課外繼續(xù)思考這個問題。
最后請大家課外思考Sn公式（1）的逆命題：
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若對于所有自然數(shù)n，都有Sn=。數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列，并說明理由。
四、小結(jié)與作業(yè)。
師：接下來請同學(xué)們一起來小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。
生11：1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式。
2、用所推導(dǎo)的兩個公式解決有關(guān)例題，熟悉對Sn公式的運用。
生12：1、運用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項數(shù)n的值。
2、具體用Sn公式時，要根據(jù)已知靈活選擇公式（I）或（II），掌握知三求二的解題通法。
3、當(dāng)已知條件不足以求解等差數(shù)列的首項a1和公差d時，我們需要仔細觀察，并靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)，嘗試使用整體思維的方法來求解數(shù)列的第n項an。
師：通過以上幾個例子，我們可以看到在解題過程中靈活運用所學(xué)知識和性質(zhì)的重要性。同時，我們也應(yīng)該糾正那種不明理由盲目套用公式的學(xué)習(xí)方法。在學(xué)習(xí)過程中，希望大家能夠成為一個有心人，積極主動地去發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì)，并努力學(xué)習(xí)掌握它們。
本節(jié)所滲透的數(shù)學(xué)方法；觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數(shù)等。
數(shù)學(xué)思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。
作業(yè)：P49：13、14、15、17
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