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一元二次方程的解法教案（通用11篇）
作為一名辛苦耕耘的教育工作者，時常要開展教案準備工作，教案是備課向課堂教學轉化的關節(jié)點。那么優(yōu)秀的教案是什么樣的呢？以下是小編收集整理的一元二次方程的解法教案，僅供參考，希望能夠幫助到大家。
一元二次方程的解法教案 1
知識與技能
1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念。
2.會熟練應用公式法解一元二次方程。
過程與方法
通過復習配方法解一元二次方程，引導學生推導出求根公式，使學生進一步認識特殊與一般的關系。
情感態(tài)度
經歷探索求根公式的過程，培養(yǎng)學生抽象思維能力，滲透辯證唯物主義觀點。
教學重點
求根公式的推導和公式法的應用。
教學難點
一元二次方程求根公式的推導。
一、情境導入，初步認識
用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0
解：（1）x1=-1，x2=-2 （2）無解
二、思考探究，獲取新知
如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根？
問題 已知ax2+bx+c=0（a≠0），試推導它的兩個根。
分析因為前面具體數字的`題目已做得很多，現在不妨把a，b，c也當成具體數字，根據上面的解題步驟就可以推導下去。
探究 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a，b，c而定，因此:
�。�1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b2-4ac≥0時，將a，b，c代入式子 就得到方程的根，當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根.
�。�2） 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式。
�。�3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
教學說明教師可以引導學生利用配方法推出求根公式，體驗獲取知識的過程，體會成功的喜悅，可讓學生小組展示。
例1 用公式法解下列方程：
�、�2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2
�、郏▁-2）（3x-5）=0 ④4x2-3x+1=0
解：①x1=1+ ，x2=1-
�、趚1=2，x2=-
�、踴1=2，x2=
�、軣o解
教學說明（1）對②、③要先化成一般形式；（2）強調確定a，b，c的值，注意它們的符號；（3）先計算b2-4ac的值，再代入公式。
三、運用新知，深化理解。
1.用公式法解下列方程：
（1）x2+x-12=0
�。�2）x2- x- =0
�。�3）x2+4x+8=2x+11
（4）x（x-4）=2-8x
�。�5）x2+2x=0
�。�6）x2+2 x+10=0
解：（1）x1=3，x2=-4；
�。�2）x1= ，x2= ；
（3）x1=1，x2=-3；
�。�4）x1=-2+ ，x2=-2- ；
�。�5）x1=0，x2=-2；
（6）無解.
教學說明用公式法解方程關鍵是要先將方程化為一般形式。
四、師生互動，課堂小結
1.求根公式的概念及其推導過程。
2.公式法的概念。
3.應用公式法解一元二次方程。
布置作業(yè)：從教材相應練習和“習題22.2”中選取。
完成練習冊中本課時練習的“課時作業(yè)”部分。
在學習活動中，要求學生主動參與，認真思考，比較觀察，交流與表述，體驗知識的獲取的過程，激發(fā)學生的學習興趣，利用師生的雙邊活動，適時調試，從而提高學習效率
一元二次方程的解法教案 2
1、教材分析
�。�1）知識結構
�。�2）重點、難點分析
重點：
�、俅_定圓的定理。它是圓中的基礎知識，是確定圓的理論依據；
�、诓辉谕恢本�上的三點作圓�！白鲌A”不僅體現在證明“確定圓的定理”的重要作用，也是解決實際問題中常用的方法；
�、鄯醋C法證明命題的一般步驟。反證法雖是選學內容，但它是證明數學命題的重要的基本方法之一
難點：反證法不是直接以題設推出結論，而是從命題結論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明原命題正確，又因為矛盾的多樣化，學生剛剛接觸，所以反證法不僅是本節(jié)的難點，也是本章的難點。
2、教學建議
本節(jié)內容需要兩個課時。在第一課時過三點的圓的教學中：
�。�1）把課堂活動設計的重點放在如何調動學生的主體和發(fā)現問題、解決問題的能力上。讓學生作圖、觀察、分析、概括出定理
�。�2）組織學生開展“找直角、銳角和鈍角三角形的外心”的位置活動，在激發(fā)學生的學習興趣中，提高作圖能力
�。�3）在教學中，解決過已知點作圓的問題，應緊緊抓住對圓心和半徑的探討，已知圓心和半徑就可以作一個圓，這是從圓的定義引出的基本思路，因此作圓的問題就是如何根據已知條件去找圓心和半徑的問題。由于作圓要經過已知點，如果圓心的位置確定了，圓的半徑也就隨之確定，因此作圓的問題又變成了找圓心的問題，是否可以作圓以及能作多少個圓，都取決于能否確定圓心的位置和圓心的個數
在第二課時反證法的教學中：
（1）對于A層的學生盡量使學生理解并會簡單應用，對B層的學生使學生了解即可
�。�2）在教學中老師要精講：
①為什么要用反證法；
②反證法的基本步驟；
�、劬v精練。
第一課時
一、素質教育目標
�。ㄒ唬┲R教學點
1．本節(jié)課使學生了解“不在同一條直線上三點確定一個圓”的定理及掌握它的作圖方法。
2．了解三角形的外接圓，三角形的.外心，圓的內接三角形的概念。
�。ǘ┠芰τ柧汓c
1．培養(yǎng)學生觀察、分析、概括的能力；
2．培養(yǎng)學生準確簡述自己觀點的能力；
3．培養(yǎng)學生動手作圖的準確操作的能力。
�。ㄈ┑掠凉B透點
通過引言的教學，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的知識來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證只許物主義觀念。
�。ㄋ模┟烙凉B透點
通過對圓的進一步學習，使學生既能體會圓的完美性（與其他圖形的結合等），又培養(yǎng)美育素質，提高對數學中美的欣賞。
二、教學步驟
�。ㄒ唬┙虒W過程
學生在教師的引導下，親自動手試驗發(fā)現經過三點的圓，這三點的位置要進行討論。有兩種情況：
�、僭谝粭l直線上三點；
�、诓辉谝粭l直線上三點，通過學生小組的討論認為不在同一條直線上三點能確定一個圓。怎樣才能做出這個圓呢？這時教師出示幻燈片。
例1作圓，使它經過不在同一直線上三點。
由學生分析首先得出這個命題的題設和結論。
已知：，求作：⊙ O ，使它經過 A 、B 、C 三點。
接著教師進一步引導學生分析要作一個圓的關鍵是要干什么？由于一開課在設計學校的位置時，學生已經有了印象，學生會很快回答是確定圓心，確定圓心的方法：作的三邊垂直平分線，三邊垂直平分線的交點 O 就是圓心。圓心 O 確定了，那么要經過三點 A 、 B 、C 的圓的半徑可以選 OA 或 OB 都可以。作圖過程教師示范，學生和老師一起完成。一邊作圖，一邊指導學生規(guī)范化的作圖方法及語言的表達要準確
定理：不在同一條直線上的三個點確定一個圓
注意：經過在同一條直線上三點不能確定一個圓
這樣做的目的，不是教師“填鴨式”地往里灌，而是學生自己經過探索確定圓的條件，這樣得到的結論印象深刻，效果要比全部由老師講更好。
接著，由于學生完成了作圓的過程，引導學生觀察這個圓與的頂點的關系，得出：經過三角形各項點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形。
強調“接”指三角形的頂點在圓上，“內接”、“外接”指在一個圖形的“里面”和“外面”。理解這些術語的意義，指出語言表達的規(guī)范化。為了更好地掌握新概念，出示練習題（投影）。
練習1：按圖填空：
�。�1）是⊙ 0的_________三角形；
�。�2）⊙ 0 是的_________圓，
這組題的目的就是理解“內接”，“外接”的含意。
練習2：判斷題：
�。�1）經過三點一定可以作圓；
�。�2）任意一個三角形一定有一個外接圓，并且只有一個外接圓；
�。�3）任意一個圓一定有一個內接三角形，并且只有一個內接三角形；
�。�4）三角形的外心是三角形三邊中線的交點；
�。�5）三角形的外心到三角形各項點的距離相等。
這組練習題主要鞏固對本節(jié)課的定理和有關概念的理解，加深學生對概念辨析的準確性。
練習3：
經過4個（或4個以上的）點是不是一定能作圓？
練習4：
選擇題：鈍角三角形的外心在三角形
�。ˋ）內部（B）一邊上（C）外部（D）可能在內部也可能在外部
練習34兩道小題，引導學生動手畫一畫，和對定理的理解是否深刻，訓練學生思維的廣闊性和準確性有關。
練習5：教材P59中4題（略）。
習題作業(yè)的參考方案
練習1：內接、外接。
練習2：（1）x（2）√（3）x（4）x（5）√
練習3：不一定。因為要想作經過4個點的圓，應先作經過其中不在同一條直線上三點的圓，而第四個點到該圓圓心的距離不一定等于半徑。所以經過4個點不一定能作圓．
練習4．C
練習5．略
�。ǘ┛偨Y、擴展
師生共同完成總結
知識點方面：
2．（1）三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心；
�。�2）三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點；
（3）三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等
3．
方法方面：
1．用尺規(guī)作三角形的外接圓的方法。
2．重點詞語的區(qū)別：“內接”“外接”。
三、布置作業(yè)
1．教材P68中7、8、9。
2．補充作業(yè)：已知一個破損的輪胎，要求在原輪胎的基礎上補一個完整的輪胎。
一元二次方程的解法教案 3
復習目標：
1、能說出一元二次方程及其相關概念。
2、能熟練應用配方法、公式法、分解因式法解簡單的一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會轉化等數學思想。
復習重難點：
一元二次方程的解法
教學過程
一、情景導入
前面我們復習了一元一次方程與二元一次方程組的解法，大家掌握得很不錯，請同學解方程x(x-1)=1，（學生略作思考后，示意不會做）忘了吧？看來好多學生都已經忘了如何解一元二次方程呢？那么這節(jié)課我們就一起來復習一元二次方程的解法（板書課題）
二、復習指導（學生按照復習提綱解決問題，師做簡單的'板書準備后，巡視指導，特別要注意幫助有困難的同學，了解學生的情況，為展示歸納做準備。）
復習提綱
1．－元二次方程的定義：只含有_______叫做一元二次方程。
2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______項，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______項。
3．一元二次方程的解法：
(1)用直接開平方法解方程（2x+1）2=9
形如x2＝p(p≥0)的方程的根為________。
(2)用配方法解方程x2+2x=3
用配方法解方程步驟： ， ， ， 。
(3)用求根公式法解方程x2-3x-5＝0 ，x2-3x+5＝0。
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式△＝________，根x= 。
(1)當△>0時，方程有兩個_______的實數根。
(2)當△＝0時，方程有兩個_______的實數根。
(3)當△<0時，_______。
三、展示歸納
1、教師抽有困難的學生逐題匯報復習結果，學生說教師板書。
2、教師發(fā)動全班學生進行評價，補充，完善。
3、教師畫龍點睛的強調。
四、變式練習
1、2、4題讓學生說出理由，3題讓學生觀察方程的特點可發(fā)現：
(1)可用直接開平方法；
(2)用配方法或公式法；(3)可用公式法；
(4)方程都有共同的因式(x－3)，故可用因式分解法。
1、判斷下列哪些方程是一元二次方程？
�。�1）4x2－16x+15=0 （2） 2x2－3＝0 （3）ax2＋bx＋c＝0
2、請將方程(x＋1)(2－x)=1化為一般形式_______。
3、解下列方程：
(1) (x－3)2－9＝0； (2) x2－2x＝5；
(3) x2－4x＋2＝0； (4) 2（x－3）＝3x（x－3)。
4、不解方程，判斷下列方程根的情況。
�。�1）2x2－5x－3＝0 （2）x2+6x+9＝0 （3）x2－4x+5＝0
五、課堂總結
請談談本節(jié)課的收獲與困惑。（學生自主小結歸納，將本章知識內化為自己的東西，并提高歸納小結的能力。）
一元二次方程的解法教案 4
教學內容
間接即通過變形運用開平方法降次解方程。
教學目標
理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題。
通過復習可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟。
重難點關鍵
1、重點：講清“直接降次有困難，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟。
2、難點與關鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉化方法與技巧。
教學過程
一、復習引入
�。▽W生活動）請同學們解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
老師點評：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=± 或mx+n=± （p≥0）。
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
二、探索新知
列出下面二個問題的方程并回答：
�。�1）列出的經化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？
�。�2）能否直接用上面三個方程的解法呢？
問題1：印度古算中有這樣一資骸耙蝗漢鎰臃至蕉櫻吒咝誦嗽謨蝸罰?八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調皮，告我總數共多少，兩隊猴子在一起”。
大意是說：一群猴子分成兩隊，一隊猴子數是猴子總數的 的平方，另一隊猴子數是12，那么猴子總數是多少？你能解決這個問題嗎？問題2：如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直的道路，余下的六個相同的'部分作為耕地，要使得耕地的面積為5000m2，道路的寬為多少？老師點評：問題1：設總共有x只猴子，根據題意，得：x=（ x）2+12
整理得：x2-64x+768=0
問題2：設道路的寬為x，則可列方程：（20-x）（32-2x）=500
整理，得：x2-36x+70=0
�。�1）列出的經化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全平方式而后二個不具有。
�。�2）不能。
既然不能直接降次解方程，那么，我們就應該設法把它轉化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉化：
x2-64x+768=0 移項→ x=2-64x=-768
兩邊加（ ）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024
一元二次方程的解法教案 5
教學目標
知識技能：掌握應用方程解決實際問題的方法步驟，提高分析問題、解決問題的能力。
過程與方法：通過探索球積分表中數量關系的過程，進一步體會方程是解決實際問題的數學模型，并且明確用方程解決實際問題時，不僅要注意解方程的過程是否正確，還要檢驗方程的解是否符合問題的實際意義。
情感態(tài)度：
鼓勵學生自主探究，合作交流，養(yǎng)成自覺反思的良好習慣。
重點：
把實際問題轉化為數學問題，不僅會列方程求出問題的解，還會進行推理判斷。
難點：
把數學問題轉化為數學問題。
關鍵：
從積分表中找出等量關系。
教具：
投影儀。
教法：
探究、討論、啟發(fā)式教學。
教學過程
一、創(chuàng)設問題情境
用投影儀展示幾張比賽場面及比分(學習是生活需要，引起學生興趣)
二、引入課題
教師用投影儀展示課本106頁中籃球聯(lián)賽積分榜引導學生觀察，思考：
�、� 用式子表示總積分能與勝、負場數之間的數量關系；
�、谀酬牭膭賵隹偡帜艿扔谒呢搱隹偡e分么?
學生充分思考、合作交流，然后教師引導學生分析。
師：要解決問題①必須求出勝一場積幾分，負一場積幾分，你能從積分榜中得到負一場積幾分么?你選擇哪一行最能說明負一場積幾分?
生：從最下面一行可以發(fā)現，負一場積1分。
師：勝一場呢?
生：2分(有的用算術法、有的用方程各抒己見)
師：若一個隊勝a場，負多少場，又怎樣積分?
生：負(14-a)場，勝場積分2a，負場積分14-a，總積分a+14
師：問題②如何解決?
學生通過計算各隊勝、負總分得出結論：不等。
師：你能用方程說明上述結論么?
生：老師，沒有等量關系。
師：欸，就是，已知里沒說，是不是不能用方程解決了?誰又沒有大膽設想?
生：老師，能不能試著讓它們相等?
師：偉大的發(fā)明都是在嘗試中進行的，試試?
生：如果設一個隊勝了x場，則負(14-x)場，讓勝場總積分等負場總積分，方程為：2x=14-x解得x=4/3(學生掌聲鼓勵)
師：x表示什么?可以是分數么?由此你的出什么結論?
生：x表示勝得場數，應該是一個整數，所以，x=4/3不符合實際意義，因此沒有哪個隊的勝場總積分等于負場總積分。
師：此問題說明，利用方程不僅求出具體數值，而且還可以推理判斷，是否存在某種數量關系；還說明用方程解決實際問題時，不僅要注意方程解得是否正確，還要檢驗方程的解是否符合問題的實際意義。
拓展
如果刪去積分榜的最后一行，你還能用式子表示總積分與勝、負場數之間的.數量關系嗎?
師：我們可以從積分榜中積分不相同的兩行數據求的勝負一場各得幾分，如：一、三行。
教師引導學生設未知數，列方程。學生試說。
生：設勝一場積x分，則前進隊勝場積分10x，負場積分(24-10x)分，它負了4場，所以負一場積分為(24-10x)/4，同理從第三行得到負一場積分為(23-9x)/5，從而列方程為(24-10x)/4=(23-9x)/5。解得x=2，當x=2時，(24-10x)/4=1。仍然可得負一場積1分，勝一場積2分。
三、鞏固練習
已知某山區(qū)的平均氣溫與該山的海拔高度的關系見表：
海拔高度(單位：m)
100
200
300
400
平均氣溫(單位：℃)
22
21.5
21
20.5
20
若某種植物適宜生長在18℃20℃(包括18℃20℃)的山區(qū)，請問該植物適宜種在海拔為多少米的山區(qū)?
學生分析題意，思考，在練習本上完成，然后同桌小議，代表發(fā)言，教師點撥。
四、課堂小結：
讓幾個學生談自己的收獲，再讓一個學生全面總結。
五、布置作業(yè)：
課本108頁8、9題。
六、教學反思
本節(jié)課主要是借球賽積分表問題傳授數學知識的應用。在前面已經討論過由實際問題抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的基礎上，本節(jié)進一步以探究的形式討論如何用一元一次方程解決實際問題。要探究的問題比前幾節(jié)的問題復雜些，問題情境與實際情況更接近。本節(jié)的重點是建立實際問題的方程模型。通過探究活動，進一步體驗一元一次方程與實際的密切聯(lián)系，加強數學建模思想，培養(yǎng)運用一元一次方程分析和解決問題的能力。
由于本節(jié)問題的背景和表達都比較貼近實際，其中的有些數量關系比較隱蔽，所以在探究過程中正確建立方程是難點，教師要恰當的引導，讓學生弄清問題背景，分析清楚有關數量關系，找出可作為方程依據的主要相等關系，但教師不要代替學生的思考。
一元二次方程的解法教案 6
教學目標：
�。ㄒ唬┲R與技能：
1、理解并掌握用配方法解簡單的一元二次方程。
2、能利用配方法解決實際問題，增強學生的數學應用意識和能力。
�。ǘ┻^程與方法目標：
1、經歷探索利用配方法解一元二次方程的過程，使學生體會到轉化的數學思想。
2、在理解配方法的基礎上，熟練應用配方法解一元二次方程的過程，培養(yǎng)學生用轉化的數學思想解決實際問題的能力。
�。ㄈ┣楦校瑧B(tài)度與價值觀
啟發(fā)學生學會觀察，分析，尋找解題的途徑，提高學生分析問題，解決問題的能力。
教學重點、難點：
重點：理解并掌握配方法，能夠靈活運用用配方法解一元二次方程。
難點：通過配方把一元二次方程轉化為（x+m）2=n(n≥0)的形式。
教學方法：根據教學內容的特點及學生的年齡、心理特征及已有的知識水平，本節(jié)課采用問題教學和對比教學法，用“創(chuàng)設情境——建立數學模型——鞏固與運用——反思、拓展”來展示教學活動。
教學過程
一、復習舊知
用直接開平方法解下列方程：
�。�1）9x2=4 (2)( x+3)2=0
總結：上節(jié)課我們學習了用直接開平方法解形如（x+m）2=n(n≥0)的方程。
二、創(chuàng)設情境，設疑引新
在實際生活中，我們常常會遇到一些問題，需要用一元二次方程來解決。
例：小明用一段長為 20米的竹籬笆圍成一個矩形，怎樣設計才可以使得矩形的面積為9米？
三、新知探究
1、提問：這樣的方程你能解嗎？
x2＋6x＋9＝0 ①
2、提問：這樣的方程你能解嗎？
x2＋6x＋4＝0 ②
思考：方程②與方程①有什么不同？能否把它化成方程①的形式呢？
歸納總結配方法：
通過配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的解，這樣的解法叫做配方法。
配方法的依據：完全平方公式
配方法的關鍵：給方程的兩邊同時加上一次項系數一半的`平方
點撥：先通過移項將方程左邊化為x2＋ax形式，然后兩邊同時加上一次項系數一半的平方進行配方，然后直接開平方求解。
四、合作討論，自主探究
1、 配方訓練
(1) x2+12x+( )=(x+6)2
(2) x2-12x＋( )＝(x- )2
(3) x2+8x+( )=(x+ )2
(4) x2+mx+( )=(x+ )2
強調：當一次項系數為負數或分數時，要注意運算的準確性。
2、將下列方程化為（x+m）2=n
(n≥0)的形式并計算出X值。
�。�1）x2－4x＋3＝0
�。�2）x2＋3x－1＝0
解：X2-4X+3=0
移向：得X2-4X=-3
配方:得X2-4X+2^2=-3+2^2(兩邊同時加上一次項系數一半的平方)
即：（X-2)2=1
開平方，得：X-2=1或X-2=-1
所以：X=3或X=1
方程（2）有學生完成。
3、鞏固訓練：課本55頁隨堂練習第一題。
五、小結
1、用配方法解二次項系數為一的一元二次方程的基本思路：先將方程化為（x+m）2=n(n≥0)的形式，然后兩邊開平方就可以得到方程的解。
2、用配方法解二次項系數為一的一元二次方程的一般步驟：
（1） 移項（常數項移到方程右邊）
�。�2） 配方（方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方）
�。�3） 開平方
（4） 解出方程的根
六、布置作業(yè)
習題2.3第1，2題
兩個學生黑板上那解題，剩余學生練習本上計算。
學生觀看課件，思考老師提出的問題，得到：設該矩形的長為x米，依題意得
x(10－x)=9
但是發(fā)現所列方程無法用直接開平方法解。于是引入新課。
學生通過觀察發(fā)現，方程的左邊是一個完全平方式，可以化為( x+3)2=0，然后就可以運用上節(jié)課學過的直接開平方法解了。
方程②的左邊不是一個完全平方式，于是不能直接開平方。學生陷入思考，給學生充分思考、交流的時間和空間。
在學生思考的時候，老師引導學生將方程②與方程①進行對比分析，然后得到：
x2＋6x＝－4
x2＋6x＋9＝－4＋9
（x+3）2=5
從而可以用直接開平方法解，給出完整的解題過程。
在學生充分思考、討論的基礎上總結：配方時，常數項為一次項系數的一半的平方。
檢查學生的練習情況。小組合作交流。
學生歸納后教師再做相應的補充和強調。
學生分組完成方程（2）和課后隨堂練習第一題
學生分組總結本節(jié)課知識內容。
一元二次方程的解法教案 7
一、學生知識狀況分析
學生已經學習了一元二次方程及其解法，對于方程的解及解方程并不陌生，實際問題的應用，有些抽象，雖然學生在七、八年級已經進行了有關的訓練，但還是有一定的難度。
本節(jié)內容針對的學生是才進入九年級的學生，他們已經具備了一定的抽象思維和建模能力，也具備一定的生活經驗和初步的解一元二次方程的經驗。
二、教學任務分析
本節(jié)課的主要是發(fā)展學生抽象思維，強化學生的應用意識，使學生能通過抽象思維將一個應用題抽象成一元二次方程使問題得以解決，這也是方程教學的重要任務。但學生抽象意識和能力的發(fā)展不是自發(fā)的，需要通過大量的應用實例，在實際問題的解決中讓學生感受到其廣泛應用，并在具體應用中增強學生的應用能力。因此，本節(jié)教學中需要選用大量的實際問題，通過列方程解決問題，并且在問題解決過程中，促進學生分析問題、解決問題意識和能力的提高以及抽象思維的初步形成。顯然，這個任務并非某個教學活動所能達成的，而應在教學活動中創(chuàng)設大量的問題解決的情境，在具體情境中發(fā)展學生的有關能力。為此，本節(jié)課的教學目標是：
知識目標：
通過分析問題中的數量關系，抽象出方程解決問題，認識方程模型的重要性，并總結運用方程解決實際問題的一般過程。
能力目標：
1、經歷分析，抽象和建模的過程，進一步體會方程是刻畫現實世界中數量關系的一個有效的數學模型；
2、能夠抽象出一元二次方程解決有關實際問題，能根據具體問題的.實際意義檢驗結果的合理性，進一步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的意識和能力；
情感態(tài)度價值觀：
在問題解決中，經歷一定的合作交流活動，進一步發(fā)展學生合作交流的意識和能力。
三、學法指導
本課是學生學習完一元二次方程的解法后的應用課，雖然學生在七八年級已經進行了一定的訓練，但本課對學生而言還是有一定的難度。本課采用啟發(fā)式、問題串討論式、合作學習相結合的方式，引導學生從已有的知識和生活經驗出發(fā)，以教材提供的素材為基礎，引導學生對對問題中的數量進行分析從而抽象出方程解決問題；學生之間的合作交流、互助學習，能更好地調動學生的學習積極性，更符合學生的認知規(guī)律。無論是例題的分析還是練習的分析，盡可能地鼓勵學生動腦、動手、動口，為學生提供展示自己聰明才智的機會，并且在此過程中發(fā)現學生分析問題、解決問題的獨到見解以及思維的誤區(qū)，更好地進行學法指導。
四、教學過程分析
本課時分為以下五個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：回憶鞏固，情境導入；第二環(huán)節(jié)：做一做，探索新知；第三環(huán)節(jié)：練一練，鞏固新知；第四環(huán)節(jié)：收獲與感悟；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。
第一環(huán)節(jié)；情境導入
活動內容：提出問題：還記得梯子下滑的問題嗎？
在這個問題中，梯子頂端下滑1米時，梯子底端滑動的距離大于1米，那么梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和它相等呢？如果梯子長度是13米，梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動的距離可能相等嗎？如果相等，那么這個距離是多少？
分組討論：
怎么設未知數？在這個問題中存在怎樣的等量關系？如何利用勾股定理抽象出方程？
活動目的：以學生所熟悉的梯子下滑問題為素材，以前面所學的勾股定理為切入點，用熟悉的情境激發(fā)學生解決問題的欲望，用學生已有的知識為支點抽象出一元二次方程使問題得以解決，進一步讓學生體會數形結合的思想。
活動的實際效果：大部分學生能夠聯(lián)系以前學過的勾股定理的三邊關系抽象出方程對上述問題進行思考，能夠在老師的引導下主動地探究問題，取得了比較理想的效果，而且也調動了學生的學習熱情，激發(fā)了學生的思維，為后面的探索奠定了良好的基礎。
第二環(huán)節(jié)探索新知
活動內容：見課本P53頁例1：
某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標B，在B的正東方向200海里處有一重要目標C，小島D位于AC的中點，島上有一補給碼頭。小島F位于BC中點。一艘軍艦從A出發(fā)，經B到C勻速巡航，一艘補給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達軍艦。
已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇，那么相遇時補給船航行了多少海里？（結果精確到0.1海里）
在教學中要給學生充分的時間去審清題意，分析各量之間的關系，不能粗線條解決。在講解過程中可逐步分解難點：審清題意；找準各條有關線段的長度關系；通過抽象思維建立方程模型，之后求解。
實際應用問題比較抽象，因此教學中老師要給學生充分的時間去審清題意，讓學生自己反復審題，弄清各量之間的關系，分析題目中的已知條件和要求解的問題，并在這個前提下抽象出圖形中各條線段所表示的量，弄清它們之間的關系，從而抽象出方程模型解決問題。
在學生分析題意遇到困難時，教學中可設置問題串分解難點：
（1）要求DE的長，需要如何設未知數？
�。�2）怎樣建立含DE未知數的等量關系？從已知條件中能找到嗎？
�。�3）利用勾股定理建立等量關系，如何構造直角三角形？
（4）選定后，三條邊長都是已知的嗎？DE，DF，EF分別是多少？
學生在問題串的引導下，逐層分析，在分組討論后抽象出題目中的等量關系即：
速度等量：V軍艦=2xV補給船
時間等量：t軍艦=t補給船
三邊數量關系：
弄清圖形中線段長表示的量：已知AB=BC=200海里，DE表示補給船的路程，AB＋BE表示軍艦的路程。
學生在此基礎上選準未知數，用未知數表示出線段：DE、EF的長，根據勾股定理抽象出方程求解，并判斷解的合理性。
鞏固練習：
1、一個直角三角形的斜邊長為7cm，一條直角邊比另一條直角邊長1cm，那么這個直角三角的面積是多少？
2、在RtACB中，∠C=90°，點P、Q同時由A、B兩點出發(fā)分別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s，幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半？
3、在寬為20m，長為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直），把耕地分成大小相等的六塊作試驗田，要使試驗田面積為570平方米，問道路應為多寬？
說明：三個題目的設計從簡單問題入手，第一題通過勾股定理抽象出一元二次方程解決直角三角形邊長問題；第2題構造了一個可變的直角三角形，抽象出方程解決面積問題；第三題也是面積問題，在這個問題中常設道路寬為x米，通過平移道路使六塊田地變成一塊田地，從而根據矩形面積公式抽象出方程解決問題。
活動目的：一元二次方程的應用題的類型較多，像數字問題、面積問題、平均增長（或降低）率問題、利潤問題等；本節(jié)課以教材上的引例作為出發(fā)點，作為素材來呈現，可以將應用類型作適當的拓展，在練習中將教材中的應用問題歸類呈現出來，便于學生理解和掌握。本課由數形結合問題拓展到面積問題，后面可以在練習中增加數字問題，為學生呈現更多的應用類型，讓學生在不同的情境中體會數學抽象和建模的重要性。
活動實際效果：應用問題設置都經過精心準備。通過問題串的設立，將比較復雜、難以理解的題目分成多個小的題目去理解，使學生在不知不覺中克服困難，體會到通過抽象出方程解應用題的三個重要環(huán)節(jié)：整體系統(tǒng)的審清題意；尋找等量關系；正確求解并檢驗解的合理性。采取的是一講一練，從鞏固練習的準確程度上來看，學生掌握得比較好，能夠達到預期的效果。
第三環(huán)節(jié)：練一練，鞏固新知
活動內容：1、在一塊正方形的鋼板上裁下寬為20cm的一個長條，剩下的長方形鋼板的面積為4800cm。求原正方形鋼板的面積。
2、有這樣一道阿拉伯古算題：有兩筆錢，一多一少，其和等于20，積等于96，多的一筆錢被許諾賞給賽義德，那么賽義德得到多少錢？
3、《九章算術》“勾股”章有一題：甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3。乙一直向東走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇。那么相遇時，甲、乙各走了多遠？
活動目的：通過三道問題的解決，查缺補漏，了解學生的掌握情況和靈活運用知識的程度。在教學過程中要以學生為主體，引導學生自主發(fā)現、合作交流。活動實際效果：學生在前面活動中積累的經驗，可以幫助學生比較順利地分析上述問題，遇有疑難可以讓學生在合作交流中解決，學生在訓練過程中更加理解數學抽象和建模的重要性。大部分學生能夠獨立解決問題。
第四環(huán)節(jié)：收獲與感悟
活動內容：提問：
1、列方程解應用題的關鍵；
2、列方程解應用題的步驟；
3、列方程應注意的一些問題。
學生在學習小組中回顧與反思，并進行組間交流發(fā)言。
活動目的：鼓勵學生回顧本節(jié)課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，還有什么疑難問題希望得到解決；通過對三個問題的解決，加深學生通過抽象思維抽象出方程解決實際問題的意識和能力；并且通過學生間的合作學習幫助不同層次的孩子解決實際困難，增強孩子學好數學的信心。
活動實際效果：學生通過回顧本節(jié)課的學習過程，體會利用抽象思維抽象出一元二次方程解決實際問題的方法和技巧，進一步提高自己解決問題的能力。
第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)
1、甲乙兩個小朋友的年齡相差4歲，兩個人的年齡相乘積等于45，你知道這兩個小朋友幾歲嗎？
2、一塊長方形草地的長和寬分別為20m和15m，在它四周外圍環(huán)繞著寬度相等的小路，已知小路的面積為246，求小路的寬度。
3、一個兩位數等于其數字之積的3倍，其十位數比個位數小2，求這兩位數。
一元二次方程的解法教案 8
學情分析
學生在七年級和八年級已經學習了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基礎上本節(jié)課將從實際問題入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。
教學目標：
知識技能
1、理解一元二次方程的概念。
2、掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項系數、一次項系數及常數項。
過程與方法
1、通過一元二次方程的引入，培養(yǎng)學生分析問題及解決問題的能力。
2、通過一元二次方程概念的學習，培養(yǎng)學生對概念理解的完整性和深刻性。
情感態(tài)度
1、培養(yǎng)學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識。
2、激發(fā)學生學數學的興趣，體會學數學的快樂，培養(yǎng)用數學的意識。
教學重難點
重點：一元二次方程的概念及一般形式。
難點：探求問題中的等量關系，建立方程模型
教學突破：
1、方程是否為一元二次方程，主要看是否滿足三個條件：
（1）是整式方程；
�。�2）只含有一個未知數；
�。�3）未知數的最高次數為2次
2、一元二次方程的各項系數均是相對于一般形式而言的，因此在教學中應強調：若要確定各項的系數，應先將方程化為一般形式。另外，一定要注意符號，尤其符號不能漏掉。
教學過程設計
一、創(chuàng)設情境引入新課
問題1:
在長30米，寬20米的矩形場地上，修筑同樣寬的兩條道路，余下的部分作為耕地，要使耕地的面積為500平方米，求道路的寬度？
通過多媒體演示，把文字轉化為圖形，幫助學生理解題意，從而由學生獨立思考，列出滿足條件的方程
問題2：
參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，求有多少家參加商品交易會？
二、啟發(fā)探究獲得新知
1、一元二次方程的概念：經整理后，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程。
說明：
(1)由一問題得到2個方程，由學生觀察歸納這2個方程的.特征，給出名稱并類比一元一次方程的定義，得出一元二次方程的定義
(2)一元二次方程必須同時具備三個特征：
a)整式方程；
b)只含有一個未知數；
c)未知數的最高次數為2
眼疾口快:
請搶答下列各式是否為一元二次方程：
�。�4）5x+3=10
說明：此環(huán)節(jié)采取搶答的形式，提高學生學習數學的興趣和積極性。
2、一元二次方程的一般式：
試一試:
例1、下面給出了某個方程的幾個特點：
它的一般形式為
�。�2）它的二次項系數為5；
（3）常數項是一次項系數的倒數的相反數。
請你寫出一個符合條件的的一元二次方程
說明：此題設置的目的在于加深學生對一般形式的理解
三、運用新知體驗成功
小試牛刀:
1、將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項。
�。�1）5x 2 -1= 4x；
（2）4x 2 = 81；
（3）4x（x+2）=25；
（4）(3x – 2)( x + 1 ) = 8x - 3
說明：鞏固練習學生整理一般形式的方法，并準確找出各項系數。此環(huán)節(jié)可找學生口答結果。另讓學生落實將剛才教師板書的整理一般形式的過程，再次突出本節(jié)課的重點內容
2、(1)小區(qū)20xx年底擁有家庭轎車64輛，20xx年底家庭轎車的擁有輛達到100輛，若該小區(qū)這兩年的年平均增長率相同，求年平均增長率x；
�。�2）一個矩形的長比寬多2厘米，面積是100平方厘米，求矩形的長x；
（3）要組織一次籃球聯(lián)賽，每兩隊之間都賽一場，計劃安排21場比賽，有多少隊參加？
說明：這幾題有在實際生活中應用的意義，以此題為例，教師板書整理一元二次方程的過程，讓學生學會如何整理任意一元二次方程的一般形式，并能準確找到各項系數。
教師在此活動中應重點關注:
(1)由一個學生列出方程，并解釋解題方法，教師進行引導，點評，引起其他學生的關注，認同。
(2)教師在歸納點評過程中，應注意把兩隊只打一場比賽解釋清楚，以便學生理解題意。
(3)整理一般形式后，教師應強調整理過程中應用到的等式變形方法，如去括號，移項，合并同類項，去分母等。
(4)讓學生指出各項系數時，教師強調系數須帶符合。
例2、當m取何值時，方程(m-2)xm2-2+3mx=5
是關于x的一元二次方程？
此題由學生思考，討論，并由學生給出結果并進行解釋
說明：此活動過程中，教師應重點關注:
(1)此題目在上一題的基礎上繼續(xù)加大難度，
第(1)題須強調先進行整理，再考慮二次項系數是否為零；
第(2)題須先求出m值，再代入二次項系數中，驗證是否為0，得到結果
(2)學生解答過程中，教師把整理的一般形式書寫在黑板上，以便全體學生理解
(2)學生解答過程中，教師把整理的一般形式書寫在黑板上，以便全體學生理解
四、歸納小結拓展提高
1．問題：
本節(jié)課你又學會了哪些新知識？
說明：小結反思中，不同學生有不同的體會，要尊重學生的個體差異，激發(fā)學生主動參與意識，為每個學生都創(chuàng)造了數學活動中獲得活動經驗的機會。
2．還有什么疑惑？
五、布置作業(yè)：
教科書第21.1第1、2、3題.
板書設計
21.1一元二次方程
一元二次方程的概念：方程兩邊都是整式，并且只含有一個未知數，未知數的最高次數是2的方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式
a表示二次項系數，b表示一次項系數，c表示常數項。
例1.例1、下面給出了某個方程的幾個特點：
它的一般形式為
�。�2）它的二次項系數為5；
�。�3）常數項是一次項系數的倒數的相反數。
請你寫出一個符合條件的的一元二次方程
例2、當m取何值時，方程(m-2)xm2-2+3mx=5
是關于x的一元二次方程？
學生學習活動評價設計：
關注學生在學習活動中的表現，如能否積極的參加活動，能否從不同的角度去思考問題，等等，而不是僅局限于學生列方程，判斷學生各項系數的正確與否。
重視學生應用新知解決問題的能力的評價，鼓勵學生使用數學語言，有條理地表達自己的思考過程，鼓勵大膽質疑和創(chuàng)新。
一元二次方程的解法教案 9
一、素質教育目標
�。ㄒ唬┲R教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間關系的應用題。
�。ǘ┠芰τ柧汓c：通過列方程解應用問題，進一步提高分析問題、解決問題的能力。
二、教學重點、難點
1、教學重點：會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間的關系的應用題。
2、教學難點：根據數與數字關系找等量關系。
三、教學步驟
�。ㄒ唬┟鞔_目標
（二）整體感知：
�。ㄈ┲攸c、難點的學習和目標完成過程
1、復習提問
�。�1）列方程解應用問題的步驟？
�、賹忣}，
�、谠O未知數，
�、哿蟹匠蹋�
�、芙夥匠蹋�
�、荽稹�
�。�2）兩個連續(xù)奇數的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整數）。
2、例1兩個連續(xù)奇數的積是323，求這兩個數。
分析：
�。�1）兩個連續(xù)奇數中較大的'奇數與較小奇數之差為2，
�。�2）設元（幾種設法）。設較小的奇數為x，則另一奇數為x+2，設較小的奇數為x-1，則另一奇數為x+1；設較小的奇數為2x-1，則另一個奇數2x+1。
以上分析是在教師的引導下，學生回答，有三種設法，就有三種列法，找三位學生使用三種方法，然后進行比較、鑒別，選出最簡單解法。
解法（一）
設較小奇數為x，另一個為x+2，據題意，得x（x+2）=323。
整理后，得x2+2x-323=0。
解這個方程，得x1=17，x2=-19。
由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，答：這兩個奇數是17，19或者-19，-17。
解法（二）
設較小的奇數為x-1，則較大的奇數為x+1。
據題意，得（x-1）（x+1）=323。
整理后，得x2=324。
解這個方程，得x1=18，x2=-18。
當x=18時，18-1=17，18+1=19。
當x=-18時，-18-1=-19，-18+1=-17。
答：兩個奇數分別為17，19；或者-19，-17。
解法（三）
設較小的奇數為2x-1，則另一個奇數為2x+1。
據題意，得（2x-1）（2x+1）=323。
整理后，得4x2=324。
解得，2x=18，或2x=-18。
當2x=18時，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19。
當2x=-18時，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17
答：兩個奇數分別為17，19；-19，-17。
引導學生觀察、比較、分析解決下面三個問題：
1、三種不同的設元，列出三種不同的方程，得出不同的x值，影響最后的結果嗎？
2、解題中的x出現了負值，為什么不舍去？
答：奇數、偶數是在整數范圍內討論，而整數包括正整數、零、負整數。
3、選出三種方法中最簡單的一種。
練習
1、兩個連續(xù)整數的積是210，求這兩個數。
2、三個連續(xù)奇數的和是321，求這三個數。
3、已知兩個數的和是12，積為23，求這兩個數。
學生板書，練習，回答，評價，深刻體會方程的思想方法。例2有一個兩位數等于其數字之積的3倍，其十位數字比個位數字小2，求這兩位數。
分析：數與數字的關系是：
兩位數=十位數字x10+個位數字。
三位數=百位數字x100+十位數字x10+個位數字。
解：設個位數字為x，則十位數字為x-2，這個兩位數是10（x-2）+x。
據題意，得10（x-2）+x=3x（x-2），整理，得3x2-17x+20=0，
當x=4時，x-2=2，10（x-2）+x=24。
答：這個兩位數是24。
練習1有一個兩位數，它們的十位數字與個位數字之和為8，如果把十位數字與個位數字調換后，所得的兩位數乘以原來的兩位數就得1855，求原來的兩位數。（35，53）
2、一個兩位數，其兩位數字的差為5，把個位數字與十位數字調換后所得的數與原數之積為976，求這個兩位數。
教師引導，啟發(fā)，學生筆答，板書，評價，體會。
�。ㄋ模┛偨Y，擴展
1、奇數的表示方法為2n+1，2n-1，……（n為整數）偶數的表示方法是2n（n是整數），連續(xù)奇數（偶數）中，較大的與較小的差為2，偶數、奇數可以是正數，也可以是負數。
數與數字的關系
兩位數=（十位數字x10）+個位數字。
三位數=（百位數字x100）+（十位數字x10）+個位數字。
2、通過本節(jié)課內容的比較、鑒別、分析、綜合，進一步提高分析問題、解決問題的能力，深刻體會方程的思想方法在解應用問題中的用途。
四、布置作業(yè)
教材P.42中A1、2
一元二次方程的解法教案 10
教學目標
一、 教學知識點
1、 經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的聯(lián)系
2、 理解二次函數與 x 軸交點的個數與一元二次方程的根的關系，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實根和沒有實根
3、 理解一元二次方程的根就是二次函數與y =h 交點的橫坐標
二、 能力訓練要求
1、經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，培養(yǎng)學生的探 索能力和創(chuàng)新精神
2、通過觀察二次函數與x 軸交 點的個數，討論 一元二次方程的根的情況，進一步培養(yǎng)學生的數形結合思想
3、通過學生共同觀察和討論，培養(yǎng)合作交流意識
三、 情感與價值觀要求
1、 經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體驗數學活動充滿著探索與創(chuàng)造，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性
2、 具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力
教學重點
1、體會方程與函數之間的聯(lián)系.
2、理解何 時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實根和沒有實根.
3、理解一元二次方程的根就是二次函數與y =h 交點的橫坐標.
教學難點
1、探索方程與函數之間的聯(lián)系的過程.
2、理解二次函數與x 軸交點的個數與一元二次方程的根的.個數之間的關系.
教學方法
討論探索法
教學過程：
1、 設問題情境，引入新課
我們已學過一元一次方程kx+b=0 (k0)和一次函數y =kx+b (k0)的關系，你還記得嗎?
它們之間的關系是：當一次函數中的函數值y =0時，一次函數y =kx+b就轉化成了一元一次方 程kx+b=0，且一次函數的圖像與x 軸交點的橫坐標即為一元一次方程kx+b=0的解
現在我們學習了一元二次方程和二次函數，它們之間是否也存在一定的關系呢?本節(jié)課我們將探索有關問題
2、 新課講解
例題講解
我們已經知道，豎直上拋物體的高度h (m )與運動時間t (s )的關系可以用公式 h =-5t 2+v 0t +h 0表示，其中h 0(m)是拋出時的高度，v 0(m/s )是拋出時的速度。一個小球從地面被以40m/s 速度豎直向上拋起，小球的高度h(m)與運動時間t(s)的關系如下圖所示，那么
(1)h 與t 的關系式是什么?
(2)小球經過多少秒后落地?你有幾種求解方法?
小組交流，然后發(fā)表自己的看法。
學生交流：
(1)h 與t 的關系式是h =-5 t 2+v 0t +h 0，其中的v 0
為40m/s，小球從地面拋起，所以h 0=0。把v 0，h 0帶入上式即可
求出h 與t 的關系式h =-5t 2+40t
(2)小球落地時h為0 ，所以只要令 h =-5t 2+v 0t +h 0中的h=0求出t即可。也就是
-5t 2+40t=0
t 2-8t=0
t(t- 8)=0
t=0或t=8
t=0時是小球沒拋時的時間，t=8是小球落地時的時間。
也可以觀察圖像，從圖像上可看到t =8時小球落地。
議一議
二次函數①y=x2+2x ②y=x2-2x+1③y=x2-2x +2 的圖像如下圖所示
(1)每個圖像與x 軸有幾個交點?
(2)一元二次方程x2+2x=0 ， x2-2x+1=0有幾個根?解方程驗證一下， 一元二次方程x2-2x +2=0有根嗎?
(3)二次函數的圖像y=ax2+bx+c 與x 軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有什么關系?
學生討論后，解答如 下：
(1)二次函數①y=x2+2x ②y=x2-2x+1③y=x2-2x +2 的圖像與x 軸分別有兩個交點、一個交點，沒有交點。
(2)一元二次方程x 2+2x=0有兩個根0，-2 ；x2-2x+1=0有兩個相等的實數根1或一個根1 ；方程x2-2x +2=0沒有實數根
(3)從圖像和討論知，二次函數y=x2+2x與x 軸有兩個交點(0，0)，(-2，0) ，方程x2+2x=0有兩個根0，-2；
二次函數y=x2-2x+1的圖像與x 軸有一個交點(1，0)，方程 x2-2x+1=0 有兩個相等的實數根1或一個根1
二次函數y=x2-2x +2 的圖像與x 軸沒有交點， 方程x2-2x +2=0沒有實數根
由此可知 ，二次函數y=ax2+bx+c 的圖像與x 軸交點的橫坐標即為一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
小結：
二次函數y=ax2+bx+c 的圖像與x 軸交點有三種情況：有兩個交點、一個交點、沒有焦點。當二次函數y=ax2+bx+c 的圖像與x 軸有交點時 ，交點的橫坐標就是當y =0時自變量x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
基礎練習
1、判斷下列各拋物線是否與x軸相交，如果相交，求出交點的坐標。
(1)y=6x2-2x+1 (2)y=-15x2+14x+8 (3)y=x2-4x+4
2、已知拋物線y=x2-6x+a的頂點在x軸上，則a= ；若拋物線與x軸有兩個交點，則a的范圍是
3、已知拋物線y=x2-3x+a+1與x軸最多只有一個交點，則a的范圍是 。
4、已知拋物線y=x2+px+q與x 軸的兩個交點為(-2，0)，(3，0)，則p= ，q= 。
5、已知拋物線 y=-2(x+1)2+8 ①求拋物線與y軸的交點坐標；②求拋物線與x軸的兩個交點間的距離。
6、拋物線y=a x2+bx+c(a0)的圖象全部在軸下方的條件是( )
(A) a0 b2-4ac0(B)a0 b2-4ac0
(B) (C)a0 b2- 4ac0 (D)a0 b2-4ac0
想一想
在本節(jié)一開始的小球上拋問題中，何時小球離地面的高度是60 m?你是怎樣知道的?
學生交流：在式子h =-5t 2+v 0t +h 0中v 0為40m/s， h 0=0，h=60 m，代入上式得
-5t 2+40t=60
t 28t+12=0
t=2或t=6
因此當小球離開地面2秒和6秒時，高度是6 0 m。
課堂練習 72頁
小結 ：本節(jié)課學習了如下內容：
1、若一元二 次方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1、x2， 則拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點坐標分別是A(x1，0 )， B( x2，0 )
2、一元二次方程ax2+bx+c=0與二次三項式ax2+bx+c及二次函數y=ax2+bx+c這三個二次之間互相轉化的關系。體現了數形結合的思想
3、二次函數y=ax2+bx+c何時為一元二次方程?
一元二次方程的解法教案 11
一、教學目標：
1、知識與能力：理解配方法，會利用配方法以一元二次式進行配方。通過對比、轉化，總結得出配方法的一般過程，提高分析能力。通過對一元二次方程二次項系數是否為1的分類處理，鍛煉學生的抽象概括能力。
2、過程與方法：會用配方法解簡單的數學系數的一元二次方程。發(fā)現不同方程的轉化方式，運用已有知識解決新問題。
3、情感態(tài)度價值觀：通過配方法的探究活動，培養(yǎng)學生勇于探索的良好學習習慣。感覺數學的嚴謹性以及數學結論的確定性。
二、教學重難點:
1、重點---會利用配方法熟練解一元二次方程。
2、難點---對于二次項系數不為1的一元二次方程通過系數化1進行適當變形后再利用配方法求解。
三、教學過程
(一)活動1：提出問題
要使一塊長方形場地的長比寬多6m，并且面積為16m2，場地的長和寬各是多少？設計意圖：讓學生在解決實際問題中學習一元二次方程的解法。
師生行為：教師引導學生回顧列方程解決實際問題的基本思路，學生討論分析。
（二）活動2：溫故知新
1.填上適當的數，使下列各式成立，并總結其中的規(guī)律。
�。�1）x+ 6x+ =(x +3 )
(2) x+8x+ =(x+ )
�。�3）x2-12x+ =(x- )2
(4) x2- 5x+ =(x- )2
(5)a2+2ab+ =(a+ )2 (6)a2-2ab+ =(a- )2
2.用直接開平方法解方程：x2+6x+9=2設計意圖：第一題為口答題，復習完全平方公式，旨在引出配方法，培養(yǎng)學生探究的興趣。
專心(三)活動2：自主學習
自學課本Ｐ31---P32思考下列問題：
1.仔細觀察教材問題2，所列出的方程x2+6x-16=0利用直接開平方法能解嗎？
2.怎樣解方程x2+6x-16=0？看教材框圖，能理解框圖中的每一步嗎？（同學之間可以交流、師生間也可交流。）
3.討論：在框圖中第二步為什么方程兩邊加9？加其它數行嗎？
4.什么叫配方法？配方法的目的是什么？
5.配方的關鍵是什么？交流與點撥：
重點在第2個問題，可以互相交流框圖中的每一步，實際上也是第3個問題的討論，教師這時對框圖中重點步驟作講解，特別是兩邊加9是配方的關鍵，使之配成完全平方式。利用a2±2ab+b2=(a±b)2。
注意：9=（），而6是方程一次項系數。所以得出配方的關鍵是方程兩邊加上一次項系數一半的平方，從而配成完全平方式。
設計意圖：學生通過自學經歷思考、討論、分析的過程，最終形成把一個一元二次方程配成完全平方式形式來解方程的思想
(四)活動4：例題學習
例（教材P33例1）解下列方程：
(1)x-8x+1=0
(2)2x+1=-3x
(3)3x2-6x+4=0教師要選擇例題書寫解題過程，通過例題的學習讓學生仔細體會用配方法解方程的一般步驟。
交流與點撥：用配方法解一元二次方程的一般步驟：
�。�1）將方程化成一般形式并把二次項系數化成1；（方程兩邊都除以二次項系數）
�。�2）移項，使方程左邊只含有二次項和一次項，右邊為常數項。
�。�3）配方，方程兩邊都加上一次項系數一半的平方。
（4）原方程變?yōu)? mx+n)2=p的'形式。
�。�5）如果右邊是非負數，就可用直接開平方法求取方程的解。設計意圖：牢牢把握通過配方將原方程變?yōu)?mx+n)2=p的形式方法。
�。ㄎ澹┱n堂練習：
1.教材Ｐ34練習1（做在課本上，學生口答）
2.教材Ｐ34練習2師生行為：對于第二題根據時間可以分兩組完成，學生板演，教師點評。設計意圖：通過練習加深學生用配方法解一元二次方程的方法。
四、歸納與小結：
1.理解配方法解方程的含義。
2.要熟練配方法的技巧，來解一元二次方程，
3.掌握配方法解一元二次方程的一般步驟，并注意每一步的易錯點。
4.配方法解一元二次方程的解題思想：“降次”由二次降為一次。
五、布置作業(yè)
教材P42習題22.2第3題
---教后反思
通過本節(jié)課的學習，我發(fā)現：配方法不僅是解一元二次方程的方法之一，而且它還可作為其它許多數學問題的一種研究思想，其發(fā)揮的作用和意義十分重要。從學生的學習情況來看，效果普遍良好，且已基本掌握了這種數學方法，從本節(jié)課的具體教學過程來分析，我有以下幾點體會和認識。
1、學生對這塊知識的理解很好，學生自己總結了配方法的具體步驟，即：
�、倩雾椣禂禐�1；
�、谝瞥淀椀椒匠逃疫叄�
�、鄯匠虄蛇呁瑫r配上一次項系數一半的平方；
�、芑匠套筮厼橥耆椒绞�；
⑤（若方程右邊為非負數）利用直接開平方法解得方程的根。理解起來也很容易，然后再加以練習鞏固
2、教學方法上的幾點體會：
�、傩枰獎�(chuàng)造性地使用教材，可以根據學生的實際情況對教材內容進行適當調整。
②相信學生要為學生提供充分展示自己的機會本節(jié)課多次組織學生合作交流，通過小組合作，為學生提供展示自己聰明才智的機會，并且在此過程中教師發(fā)現了學生在分析問題和解決問題時出現的獨到見解，以及思維的誤區(qū)，這樣使得老師可以更好地指導今后的教學。
3、當然在這一塊知識的教學過程中，學生也出現了個別錯誤，表現在：
�、俣雾椣禂禌]有化為1就盲目配方；
�、诓荒芙o方程“兩邊”同時配方；
�、叟浞街螅疫吺�0，結果方程根書寫成x＝﹡的形式（應為x1=x2=﹡）；
�、芩o方程的未知字母有時不是x，而是y、z、a、m等，但個別粗心甚至細心的同學在結果寫方程根時字母都變成了x。對于以上錯誤，我在最后的知識小結中，又重點強調了配方法的一般步驟，并說明其中關鍵的一步是第③步，必須依據等式的基本性質給方程兩邊同時加常數。
4、對于基礎較差的少數學生我只要求認真理解并鞏固“配方法”；對于基礎較好的同學根據他們的課堂反應，我還在知識拓寬方面加以提示：因為完全平方式的值定是非負數，故若在說明某一多項式是否為非負數時，可采用配方法來證，這樣對有些善于鉆研思考的同學來說，在有關配方法的應用和探究方面，為之起到“拋磚引玉”的作用，也為后期部分知識的教學作了一定的鋪墊。
5、在我本節(jié)課的教學當中，也有如下不妥之處：
①對不同層次的學生要求程度不適當；
�、谠谔崾竞蛦l(fā)上有些過度；
�、蹫閷W生提供的思考問題時間較少，導致部分學生對本節(jié)知識“囫圇吞棗”，而最終“消化不良”，在以后的課堂教學中，我會力爭克服以上不足。
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