2009屆高三數學二輪專題復習教案-數列

2009屆高三數學二輪專題復習教案——數列 一、本章知識結構： 二、重點知識回顧 １．數列的概念及表示方法 　�。ǎ保┒�義：按照一定順序排列著的一列數． 　�。ǎ玻┍硎痉椒ǎ毫斜矸ā⒔馕龇ǎㄍ�項公式法和遞推公式法）、圖象法． 　　（３）分類：按項數有限還是無限分為有窮數列和無窮數列；按項與項之間的大小關系可分為單調數列、擺動數列和常數列． 　�。ǎ矗� 與 的關系： ． 　　2．等差數列和等比數列的比較 　�。ǎ保┒�義：從第2項起每一項與它前一項的差等于同一常數的數列叫等差數列；從第2項起每一項與它前一項的比等于同一常數（不為0）的數列叫做等比數列． 　�。ǎ玻┻f推公式： ． 　�。ǎ常┩�項公式： ． 　　（４）性質 　　等差數列的主要性質： 　�、賳握{性： 時為遞增數列， 時為遞減數列， 時為常數列． 　�、谌� ，則 ．特別地，當 時，有 ． 　�、� ． 　　④ 成等差數列． 　　等比數列的主要性質： 　�、賳握{性：當 或 時，為遞增數列；當 ，或 時，為遞減數列；當 時，為擺動數列；當 時，為常數列． 　�、谌� ，則 ．特別地，若 ，則 ． 　�、� ． 　�、� ，…，當 時為等比數列；當 時，若 為偶數，不是等比數列．若 為奇數，是公比為 的等比數列． 三、考點剖析 考點一：等差、等比數列的概念與性質 例1. （2008深圳模擬）已知數列  （1）求數列 的通項公式； （2）求數列 解：（1）當 ；、   當 ，   、 （2）令    當 ；   當   綜上，    點評：本題考查了數列的前n項與數列的通項公式之間的關系，特別要注意n＝１時情況，在解題時經常會忘記。第二問要分情況討論，體現了分類討論的數學思想． 例２、（2008廣東雙合中學）已知等差數列 的前n項和為 ，且 ， . 數列 是等比數列， （其中 ）. （I）求數列 和 的通項公式；（II）記 . 解：（I）公差為d， 則  .  設等比數列 的公比為 ，  . （II）    作差：     . 點評：本題考查了等差數列與等比數列的基本知識，第二問，求前n項和的解法，要抓住它的結特征，一個等差數列與一個等比數列之積，乘以２后變成另外的一個式子，體現了數學的轉化思想。 考點二：求數列的通項與求和 例3.（2008江蘇）將全體正整數排成一個三角形數陣：       按照以上排列的規(guī)律，第 行（ ）從左向右的第3個數為  解：前n－1 行共有正整數1＋2＋…＋（n－1）個，即 個，因此第n 行第3 個數是全體正整數中第 ＋3個，即為 ． 點評：本小題考查歸納推理和等差數列求和公式，難點在于求出數列的通項，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。 例4.（2008深圳模擬）圖（1）、（2）、（3）、（4）分別包含1個、5個、13個、25個第二十九屆北京奧運會吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方式構造圖形，設第 個圖形包含 個“福娃迎迎”，則 　　　��； ＿＿＿＿ 解：第1個圖個數：1 第2個圖個數：1+3+1 第3個圖個數：1+3+5+3+1 第4個圖個數：1+3+5+7+5+3+1 第5個圖個數：1+3+5+7+9+7+5+3+1= ， 所以，f（５）＝４１ f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６   點評：由特殊到一般，考查邏輯歸納能力，分析問題和解決問題的能力，本題的第二問是一個遞推關系式，有時候求數列的通項公式，可以轉化遞推公式來求解，體現了轉化與化歸的數學思想。 考點三：數列與不等式的聯(lián)系 例5.（２００９屆高三湖南益陽）已知等比數列 的首項為 ，公比 滿足 。又已知 ， ， 成等差數列。 （1）求數列 的通項 （2）令 ，求證：對于任意 ，都有 （1）解：∵  ∴  ∴ ∵  ∴  ∴  （2）證明：∵ ，  ∴   點評：把復雜的問題轉化成清晰的問題是數學中的重要思想，本題中的第（２）問，采用裂項相消法法，求出數列之和，由n的范圍證出不等式。 例６、(2008遼寧理) 在數列 ， 中，a1=2，b1=4，且 成等差數列， 成等比數列（ ） （Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測 ， 的通項公式，并證明你的結論； （Ⅱ）證明： ． 解：（Ⅰ）由條件得 由此可得  ． 猜測 ． 用數學歸納法證明： ①當n=1時，由上可得結論成立． ②假設當n=k時，結論成立，即  ， 那么當n=k+1時，  ． 所以當n=k+1時，結論也成立． 由①②，可知 對一切正整數都成立． （Ⅱ） ． n≥2時，由（Ⅰ）知 ． 故     綜上，原不等式成立． 點評：本小題主要考查等差數列，等比數列，數學歸納法，不等式等基礎知識，考查綜合運用數學知識進行歸納、總結、推理、論證等能力． 例７. （2008安徽理）設數列 滿足 為實數 （Ⅰ）證明： 對任意 成立的充分必要條件是 ； （Ⅱ）設 ，證明： ; （Ⅲ）設 ，證明： 解： (1) 必要性 ：  ， 又 ，即 充分性 ：設  ，對 用數學歸納法證明   當 時， .假設   則 ，且  ，由數學歸納法知 對所有 成立 (2) 設  ，當 時， ，結論成立 當  時， ,由（1）知 ，所以 且  (3) 設  ，當 時， ，結論成立  當 時，由（2）知   點評：本題是數列、充要條件、數學歸納法的知識交匯題，屬于難題，復習時應引起注意，加強訓練。 考點四：數列與函數、概率等的聯(lián)系 例題８.. (2008福建理) 已知函數 . 　�。á瘢┰O{an}是正數組成的數列，前n項和為Sn，其中a1=3.若點 (n∈N*)在函數y=f′(x)的圖象上，求證：點（n,Sn）也在y=f′(x)的圖象上； 　　（Ⅱ）求函數f(x)在區(qū)間（a-1,a）內的極值.   (Ⅰ)證明：因為 所以 ′(x)=x2+2x,   由點 在函數y=f′(x)的圖象上,   又 所以   所以 ,又因為 ′(n)=n2+2n,所以 ,   故點 也在函數y=f′(x)的圖象上. (Ⅱ)解: , 由 得 . 當x變化時, ﹑ 的變化情況如下表:   x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞)  f′(x) + 0 - 0 +  f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗  注意到 ,從而 ①當 ,此時 無極小值； ②當 的極小值為 ,此時 無極大值； ③當 既無極大值又無極小值. 點評：本小題主要考查函數極值、等差數列等基本知識，考查分類與整合、轉化與化歸等數學思想方法，考查分析問題和解決問題的能力. 　例９ 、（２００７江西理）將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數依次成等差數 列的概率為（　　） 　�。粒� Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．  　　解：一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數列共有個，其中為等差數列有三類：（1）公差為0的有6個；（2）公差為1或-1的有8個；（3）公差為2或-2的有4個，共有18個， 成等差數列的概率為，選B 點評：本題是以數列和概率的背景出現，題型新穎而別開生面，有采取分類討論，分類時要做到不遺漏，不重復。 考點五：數列與程序框圖的聯(lián)系 例１０、（２００９廣州天河區(qū)模擬）根據如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為 ； （Ⅰ）求數列 的通項公式 ； （Ⅱ）寫出y1，y2，y3，y4，由此猜想出數列{yn}； 的一個通項公式y(tǒng)n，并證明你的結論; （Ⅲ）求 ． 解：（Ⅰ）由框圖，知數列  ∴  （Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想 證明：由框圖，知數列{yn}中，yn+1=3yn+2 ∴ ∴  ∴數列{yn+1}是以3為首項，3為公比的等比數列。 ∴ +1=3·3n－1=3n ∴ =3n－1（ ） （Ⅲ）zn= =1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1） =1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）] 記Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，①  則3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1  ② ①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1 =2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1 =2× =  ∴ 又1+3+…+（2n－1）=n2 ∴ . 　　點評：程序框圖與數列的聯(lián)系是新課標背景下的新鮮事物，因為程序框圖中循環(huán)，與數列的各項一一對應，所以，這方面的內容是命題的新方向，應引起重視。 四、方法總結與2009年高考預測 （一）方法總結 1. 求數列的通項通常有兩種題型：一是根據所給的一列數，通過觀察求通項；一是根據遞推關系式求通項。 2. 數列中的不等式問題是高考的難點熱點問題，對不等式的證明有比較法、放縮，放縮通常有化歸等比數列和可裂項的形式。 3. 數列是特殊的函數，而函數又是高中數學的一條主線，所以數列這一部分是容易命制多個知識點交融的題，這應是命題的一個方向。 （二）2009年高考預測 1. 數列中 與 的關系一直是高考的熱點，求數列的通項公式是最為常見的題目，要切實注意 與 的關系.關于遞推公式，在《考試說明》中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項”。但實際上，從近兩年各地高考試題來看，是加大了對“遞推公式”的考查。 2. 探索性問題在數列中考查較多，試題沒有給出結論，需要考生猜出或自己找出結論，然后給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求. 3. 等差、等比數列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題。 4. 求和問題也是常見的試題，等差數列、等比數列及可以轉化為等差、等比數列求和問題應掌握，還應該掌握一些特殊數列的求和. 5. 將數列應用題轉化為等差、等比數列問題也是高考中的重點和熱點，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查. 6. 有關數列與函數、數列與不等式、數列與概率等問題既是考查的重點，也是考查的難點。今后在這方面還會體現的

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